三角関数の合成公式

■ sin（正弦）での合成

$asin\theta +bcos\theta$$=\sqrt{a^2+b^2}sin\left(\theta +\alpha \right)$　･･････(1)

ただし，$\alpha$は$sin$の係数$a$を$x$成分，$cos$の係数$b$を$y$成分とする点$\text{P}$ と原点$\text{O}$ を結ぶ線分$\text{OP}$ とx 軸のなす角を一般角で表したものである．

(1)が成り立つとすると

${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\cos \alpha =a}$ ， ${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\sin \alpha =b}$

となる．いいかえると， $\alpha$ は

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ , ${\displaystyle \cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

を満たす．図はこの関係を示したものである．通常， ${\displaystyle -180°<\alpha \leqq 180°}$ とする．

⇒公式の導出，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

■ cos（余弦）での合成

${\displaystyle asin\theta +bcos\theta }$${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}cos\left(\theta -\beta \right)}$　･･････(2)

ただし，$\beta$は$cos$の係数$b$を$x$成分，$sin$の係数$a$を$y$成分とする点$\text{Q}$ と原点$\text{O}$ を結ぶ線分$\text{OQ}$ とx 軸のなす角を一般角で表したものである．

(2)が成り立つとすると

${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\sin \beta =a}$ ， ${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\cos \beta =b}$

となる．いいかえると， $\beta$ は

${\displaystyle \sin \beta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$，${\displaystyle \cos \beta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

を満たす．図はこの関係を示したものである．通常， ${\displaystyle -180°<\alpha \leqq 180°}$ とする．

⇒公式の導出，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

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■公式の導出

●sinでの合成：

${\displaystyle a>0}$ ，${\displaystyle b>0}$，${\displaystyle 0<\theta <90°}$ の場合，図より合成公式が導かれる．

次に，${\displaystyle a\ne 0}$  あるいは${\displaystyle b\ne 0}$ において式を変形して合成の公式を導く．

${\displaystyle asin\theta +bcos\theta }$ 

${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta }$${\displaystyle +\sqrt{a^2+b^2}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta }$

${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}\left(sin\theta ·\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right.}$${\displaystyle \left.+cos\theta ·\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}$

${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cos\alpha }$ ，${\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=sin\alpha }$とおくと

${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}sin\left(\theta +\alpha \right)}$　（${\displaystyle \because }$ 加法定理より）

【参考】${\displaystyle \sin \left(180°-\left(\theta +\alpha \right)\right)=\sin \left(\theta +\alpha \right)}$

●cosでの合成：

${\displaystyle a>0}$ ， ${\displaystyle b>0}$ ， ${\displaystyle 0<\theta <90°}$  の場合，図より合成公式が導かれる．

次に， ${\displaystyle a\ne 0}$  あるいは ${\displaystyle b\ne 0}$  において式を変形して合成の公式を導く．

${\displaystyle asin\theta +bcos\theta }$ ${\displaystyle =bcos\theta +asin\theta }$ 

${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta }$${\displaystyle +\sqrt{a^2+b^2}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta }$

${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}\left(cos\theta ·\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right.}$${\displaystyle \left.+sin\theta ·\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}$

${\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=cos\beta }$ ，${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=sin\beta }$とおくと

${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}cos\left(\theta -\beta \right)}$　（ ${\displaystyle \because }$ 加法定理より）

　

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最終更新日： 2024年9月8日