ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

・sin（正弦）での合成

$asin\theta +bcos\theta =\sqrt{a^2+b^2}sin\left(\theta +\alpha \right)$

・cos（余弦）での合成

${\displaystyle asin\theta +bcos\theta =\sqrt{a^2+b^2}cos\left(\theta -\beta \right)}$  

■証明

図のように${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を定める．ただし，${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\right|=a}$ ，${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}\right|=b}$とする．

各ベクトルを成分表示すると

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a\cos \theta ,a\sin \theta \right)}$ ･･････(1)

${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-b\sin \theta ,b\cos \theta \right)}$･･････(2)

である．

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$ の終点をそれぞれ ${\displaystyle \text{A}}$ 点，${\displaystyle \text{B}}$ 点，${\displaystyle \text{C}}$ 点とする．

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ のなす角は${\displaystyle {90}^{\circ }}$ であるので，${\displaystyle △\text{OAC}}$ は直角三角形である．よって，${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}$ 　は

三平方の定理より　

${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{a^2+b^2}}$ 　

となる．${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$と${\displaystyle x}$ 軸のなす角は${\displaystyle \theta +\alpha }$ である．よって ${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$を成分表示すると　

${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$${\displaystyle =\left(\sqrt{a^2+b^2}\cos \left(\theta +\alpha \right),\right.}$${\displaystyle \left.\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta +\alpha \right)\right)}$ 　･･････(3)

となる．また，${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$と${\displaystyle y}$ 軸のなす角は${\displaystyle \theta -\beta }$ である．よって${\displaystyle \theta -\beta }$を使って　

${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$を成分表示すると

${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\left(-\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta -\beta \right),\right.}$${\displaystyle \left.\sqrt{a^2+b^2}\cos \left(\theta -\beta \right)\right)}$ ･･････(4)

となる．

一方，(1)，(2)より

${\displaystyle \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$${\displaystyle =\left(a\cos \theta ,a\sin \theta \right)}$${\displaystyle +\left(-b\sin \theta ,b\cos \theta \right)}$${\displaystyle =\left(a\cos \theta -b\sin \theta ,\right.}$ ${\displaystyle \left.a\sin \theta +b\cos \theta \right)}$ ･･････(5)

となる．(3)，(4)，(5)の成分は等しい．よって

${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$

${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\cos \left(\theta -\beta \right)}$

ただし，${\displaystyle \tan \alpha =\frac{b}{a}}$ ，${\displaystyle \tan \beta =\frac{a}{b}}$

が得られる．

■インターラクティブなグラフ

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最終更新日： 2024年9月8日