オイラーの公式による加法定理の導出

加法定理

${\displaystyle cos\left(\alpha \pm \beta \right)=cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta }$ 

${\displaystyle sin\left(\alpha \pm \beta \right)=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta }$ 

■オイラーの公式による加法定理の導出

指数が複素数でも底が自然対数の底 ${\displaystyle e}$ の場合は指数法則の${\displaystyle e^{z_1+z_2}=e^{z_1}·e^{z_2}}$が成り立つことより

${\displaystyle e^{i\left(\alpha \pm \beta \right)}}$${\displaystyle =e^{i\alpha }\times e^{\pm i\beta }}$   ${\displaystyle }$   

が得られる．右辺はオイラーの公式 ${\displaystyle e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta }$ より

${\displaystyle =cos\alpha cos\left(\pm \beta \right)-sin\alpha sin\left(\pm \beta \right)}$${\displaystyle +i\left(sin\alpha cos\left(\pm \beta \right)+cos\alpha sin\left(\pm \beta \right)\right)}$

${\displaystyle =cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta }$${\displaystyle +i(sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta ) }$　･･･････(1)

左辺もオイラーの公式より

${\displaystyle e^{i\left(\alpha \pm \beta \right)}}$${\displaystyle =cos\left(\alpha \pm \beta \right)+isin\left(\alpha \pm \beta \right)}$ ･･･････(2)

(1)=(2)より 

${\displaystyle cos\left(\alpha \pm \beta \right)=cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta }$ 

${\displaystyle sin\left(\alpha \pm \beta \right)=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta }$

となり加法定理が得られる．

実際には， ${\displaystyle e^{z_1+z_2}=e^{z_1}·e^{z_2}}$が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない． 

 

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最終更新日 2026年10月24日