加法定理
cos( α±β )=cosαcosβ∓sinαsinβ
sin( α+β )=sinαcosβ±cosαsinβ
e i( α±β ) = e iα × e ±iβ
が得られる.右辺はオイラーの公式 e iθ = cosθ+isinθ より
e iα × e ±iβ =( cosα+isinα )×( cos( ±β )+isin( ±β ) )
=cosαcos( ±β )−sinαsin( ±β ) +i( sinαcos( ±β )+cosαsin( ±β ) )
=cosαcosβ∓sinαsinβ +i( sinαcosβ±cosαsinβ ) ・・・・・・・(1)
左辺もオイラーの公式より
e i( α±β ) =cos( α±β )+isin( α±β ) ・・・・・・・(2)
(1)=(2)より
cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
となり加法定理が得られる.
実際には, e z 1 + z 2 = e z 1 · e z 2 が成り立つことを証明するのに加法定理を使っているので加法定理の証明にはならない.
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最終更新日 2023年3月2日