積分　logx/(x^2)

${\displaystyle \int \frac{logx}{x^2}dx}$

${\displaystyle logx}$ を ${\displaystyle logx=t}$  とおいて置換積分を行う．すると

${\displaystyle x=e^t\to \frac{dx}{dt}=e^t\to dx=e^{t}dt}$

与式 ${\displaystyle =\int \frac{t}{{\left(e^t\right)}^2}{e}^{t}dt=\int t{e}^{-t}dt}$

${\displaystyle t{e}^{-t}}$ は t と ${\displaystyle e^{-t}}$ の積で， t を微分すると1となる．  ⇒ 部分積分をするとよい．

部分積分の公式の

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$  

において ${\displaystyle f\left(t\right)=t}$ ， ${\displaystyle g^{\prime }\left(t\right)=e^{-t}}$ とした部分積分を行う．

${\displaystyle \int t{e}^{-t}dt}$ ${\displaystyle =t\mathrm{·}(-e^{-t})-\int 1\mathrm{·}(-e^{-t})dt}$

${\displaystyle =-t{e}^{-t}+\int e^{-t}dt+C}$

${\displaystyle =-t{e}^{-t}-e^{-t}+C}$

${\displaystyle =-e^{-t}(1+t)+C}$

${\displaystyle =-\frac{1+logx}{x}+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■別解

${\displaystyle \int \frac{logx}{x^2}dx=\int {\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }logxdx}$  

と考えて部分積分を行なう．

${\displaystyle {\int \left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }logxdx}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{x}logx-\int \left(-\frac{1}{x}\right){\left(logx\right)}^{\prime }dx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{x}logx-\int \left(-\frac{1}{x}\right)·\frac{1}{x}dx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{x}logx-\int \left(-\frac{1}{x^2}\right)dx}$

${\displaystyle =-\frac{1}{x}logx-\frac{1}{x}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1+logx}{x}+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

 

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最終更新日： 2025年4月22日