∫x2x2+1dx
=∫x·xx2+1dx
部分積分法を用いて計算をすすめる．
=∫x{ 13(x2+1)32 }′dx
=x·13(x2+1)32−∫x′·13(x2+1)32dx
=13x(x2+1)x2+1−13∫(x2+1)x2+1dx
=13x(x2+1)x2+1−13{ ∫x2x2+1dx+∫x2+1dx }
∫ x 2 +1 dx の積分は この積分の a=1 の場合である．よって
=13x(x2+1)x2+1−13∫x2x2+1dx−13·12(xx2+1+log| x+x2+1 |)
=13x(x2+1)x2+1−13∫x2x2+1dx−16xx2+1−16log| x+x2+1 |
=−13∫x2x2+1dx+16xx2+1{ 2(x2−1)+1 }−16log| x+x2+1 |
=−13∫x2x2+1dx+16xx2+1(2x2+1)−16log| x+x2+1 |
このように，左辺と同じ積分 ∫ x 2 x 2 +1 dx が右辺にも現れた．
よって，上記の方程式を ∫ x 2 x 2 +1 dx について解く．
∫ x 2 x 2 +1 dx + 1 3 ∫ x 2 x 2 +1 dx = 1 6 x x 2 +1 ( 2 x 2 +1 )− 1 6 log| x+ x 2 +1 |
4 3 ∫ x 2 x 2 +1 dx = 1 6 x x 2 +1 ( 2 x 2 +1 )− 1 6 log| x+ x 2 +1 |
∫ x 2 x 2 +1 dx = 3 4 { 1 6 x x 2 +1 ( 2 x 2 +1 )− 1 6 log| x+ x 2 +1 | }
∫ x 2 x 2 +1 dx = 1 8 { x x 2 +1 ( 2 x 2 +1 )−log| x+ x 2 +1 | }
最後に，積分定数 C を付け加えると
∫ x 2 x 2 +1 dx = 1 8 { x x 2 +1 ( 2 x 2 +1 )−log| x+ x 2 +1 | }+C
となる．
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最終更新日： 2023年10月4日