定積分と面積

定積分${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$は，関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ の曲線と 軸で挟まれた領域で，区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$ の面積を表す．ただし，区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$で${\displaystyle f\left(x\right)\geqq 0}$とする．

解説

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ の曲線とx 軸で挟まれた領域で，区間 ${\displaystyle \left[x_0,x\right]}$ の面積を${\displaystyle S\left(x\right)}$ とする．ただし，区間 ${\displaystyle \left[x_0,x\right]}$で${\displaystyle f\left(x\right)\geqq 0}$ ，${\displaystyle x_0<a<x<b}$  とする．

x がx から${\displaystyle x+\Delta x}$ に増加したときの${\displaystyle S\left(x\right)}$ の増加量を${\displaystyle \Delta S}$ とすると

${\displaystyle S\left(x+\Delta x\right)-S\left(x\right)=\Delta S}$

と表すことができる．拡大図より ，${\displaystyle \Delta S=\Delta x·f\left(t\right)}$ となるt が存在することがわかる．この関係は${\displaystyle \Delta x<0}$ の時も成り立つ． $\Delta x\to 0$ のとき，${\displaystyle t\to x}$ ，${\displaystyle f\left(t\right)\to f\left(x\right)}$となることから

${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{S\left(x+\Delta x\right)-S\left(x\right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta S}{\Delta x}}$${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta x·f\left(t\right)}{\Delta x}=f\left(x\right)}$

となり， ${\displaystyle S\left(x\right)}$は${\displaystyle f\left(x\right)}$不定積分であることが解る．
よって，定積分の定義より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=S\left(b\right)-S\left(a\right)}$

と表される．すなわち， ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$ は，関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ の曲線とx 軸で挟まれた領域で，区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$ の面積となる．

参考：定積分を，微小面積を足し合わせたものであるという考え方がある．この考え方は物理現象等を理解するときに非常に大切である．以下に簡単に説明する．（和の極限としての定積分の定義を参照のこと）

まず，区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$ をn 等分してn 個の長方形を考える．（下図の場合は${\displaystyle n=7}$ である．また単純化するために等分割している．）

${\displaystyle \begin{array}{l}{S}_1=f\left(x_1\right)·\Delta x\\ S_2=f\left(x_2\right)·\Delta x\\ S_3=f\left(x_3\right)·\Delta x\\ ⋮\\ S_n=f\left(x_n\right)·\Delta x\end{array}}$

ただし

${\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n},\hspace{1em}{x}_k=a+\left(k-1\right)·\Delta x}$     ${\displaystyle \left(k=1,2,3,\cdots ,n\right)}$

n 個の長方形の面積の総和を${\displaystyle S^{\prime }}$ とすると

${\displaystyle S^{\prime }=S_1+S_2+S_3+\cdots +S_n}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum }_{k=1}^{n}f\left(x_k\right)·\Delta x}$

となる．下図より，分割数を増やすと S(ある区間の関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ とx 軸で挟まれた面積)と${\displaystyle S^{\prime }}$ の差が小さくなっているのが解る．

このことから，${\displaystyle n\to \infty }$ にすると${\displaystyle S^{\prime }\to S}$となる．これを式で表すと

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{n}f\left(x_k\right)·\Delta x=S}$

ただし

${\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n},\hspace{1em}{x}_k=a+\left(k-1\right)·\Delta x}$     ${\displaystyle \left(k=1,2,3,\cdots ,n\right)}$

となる．この面積S 値が定積分 のことで

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{n}f\left(x_k\right)·\Delta x}$

ただし

${\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n},\hspace{1em}{x}_k=a+\left(k-1\right)·\Delta x}$     ${\displaystyle \left(k=1,2,3,\cdots ,n\right)}$

である．

参考：区分求積法

　

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最終更新日： 2023年7月30日