グリーンの定理

${\displaystyle xy}$ 平面上において ${\displaystyle D}$ を有界な領域とする． ${\displaystyle D}$ の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする．この境界を ${\displaystyle C}$ とし，正の向きを定める．関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right),g\left(x,y\right)}$ が閉領域 ${\displaystyle D}$ で1回微分可能であるならば，次式が成り立つ．

${\displaystyle {\iint }_D\left(g_x\left(x,y\right)-f_y\left(x,y\right)\right)dxdy={\int }_C\left(f\left(x,y\right)dx+g\left(x,y\right)dy\right)}$

■導出

閉領域 ${\displaystyle D}$ が縦線形領域 ${\displaystyle D:}$${\displaystyle a\leqq x\leqq b}$，${\displaystyle \psi \left(x\right)\leqq y\leqq \varphi \left(x\right)}$ であるならば

${\displaystyle -{\displaystyle {\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy}={\displaystyle {\int }_{C}f\left(x,y\right)dx}}$　　･･････(1)　⇒ 導出

同様に，横線形領域 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle :c\leqq y\leqq d}$， ${\displaystyle \xi \left(y\right)\leqq x\leqq \zeta \left(y\right)}$ であるならば

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D{g}_x\left(x,y\right)dxdy}={\displaystyle {\int }_{C}g\left(x,y\right)dy}}$　　･･････(2)　⇒ 導出

が成り立つ．

(1)，(2)の辺々を加えると

${\displaystyle {\iint }_D{g}_x\left(x,y\right)dxdy-{\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle ={\int }_{C}f\left(x,y\right)dx+{\int }_{C}g\left(x,y\right)dy}$

${\displaystyle {\iint }_D\left(g_x\left(x,y\right)-f_y\left(x,y\right)\right)dxdy}$${\displaystyle ={\int }_C\left(f\left(x,y\right)dx+g\left(x,y\right)dy\right)}$

が得られる．

　

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最終更新日： 2023年8月2日