グリーンの定理（補題1）

${\displaystyle xy}$ 平面上において ${\displaystyle D}$ を有界な領域とする． ${\displaystyle D}$ の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする．この境界を ${\displaystyle \text{C}}$ とし，正の向きを定める．閉領域 ${\displaystyle D}$ が縦線形領域 ${\displaystyle D:}$${\displaystyle a\leqq x\leqq b}$，${\displaystyle \psi \left(x\right)\leqq y\leqq \varphi \left(x\right)}$ と表せ，2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ が閉領域 ${\displaystyle D}$ で1回微分可能であるならば次式が成り立つ．

${\displaystyle {\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy=-{\int }_{C}f\left(x,y\right)dx}$　･･････(1)

■導出

領域を図示すると図のようになる．${\displaystyle {\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy}$を累次積分(重積分)と考えて式を変形すると

${\displaystyle {\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle ={\int }_a^b\left({\int }_{\psi \left(x\right)}^{\varphi \left(x\right)}{f}_y\left(x,y\right)dy\right)dx}$

${\displaystyle x}$ を固定して ${\displaystyle f_y\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle y}$ で積分する

${\displaystyle ={\int }_a^b\left({\left[f\left(x,y\right)\right]}_{\psi \left(x\right)}^{\varphi \left(x\right)}\right)dx}$

${\displaystyle x}$ は固定しているので ${\displaystyle y}$ のみが変化する

${\displaystyle ={\int }_a^b\left\{f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)-f\left(x,\psi \left(x\right)\right)\right\}dx}$

定積分の基本式を使用して2つの積分に分ける

${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)dx-{\int }_a^{b}f\left(x,\psi \left(x\right)\right)dx}$　･･････(2)

次に，線積分と考えて式を変形する．

境界 ${\displaystyle C}$ において点$\text{A}\to$点$\text{B}\to$点$\text{C}\to$点$\text{D}\to$点$\text{E}\to$点$\text{F}\to$点$\text{G}\to$点$\text{H}\to$点$A$ と一周する経路を正の向きとする．

点${\displaystyle \text{A}}$ から点 ${\displaystyle \text{D}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_1}$
点${\displaystyle \text{D}}$ から点 ${\displaystyle \text{E}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_2}$
点${\displaystyle \text{E}}$ から 点${\displaystyle \text{H}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_3}$
点${\displaystyle \text{H}}$ から点 ${\displaystyle \text{A}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_4}$

とすると，境界 ${\displaystyle C}$ に沿った線積分は次のように表せる．

${\displaystyle {\int }_{C}f\left(x,y\right)dx}$${\displaystyle ={\int }_{C_1}f\left(x,y\right)dx}$${\displaystyle +{\int }_{C_2}f\left(x,y\right)dx}$${\displaystyle +{\int }_{C_3}f\left(x,y\right)dx}$${\displaystyle +{\int }_{C_4}f\left(x,y\right)dx}$　･･････(3)

右辺の各項について考える．

[1] ${\displaystyle {\int }_{C_1}f\left(x,y\right)dx}$

${\displaystyle x=t}$ とおいて， ${\displaystyle C_1}$ を変数 ${\displaystyle t}$ を用いて表すと

${\displaystyle \left\{\left(t,\psi \left(t\right)\right);t\in \left[a,b\right]\right\}}$　･･････(4)

となる．

この曲線上において ${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle a}$ から ${\displaystyle b}$ に変化させると，点${\displaystyle \left(t,\psi \left(t\right)\right)}$ は経路 ${\displaystyle C_1}$に沿って点 ${\displaystyle \text{A}}$ から点 ${\displaystyle \text{D}}$ に移動することから，線積分 ${\displaystyle {\int }_{C_1}f\left(x,y\right)dx}$ を積分変数が${\displaystyle t}$の 定積分に置換すると

${\displaystyle {\int }_{C_1}f\left(x,y\right)dx={\int }_a^{b}f\left(t,\psi \left(t\right)\right)\frac{dx}{dt}dt}$　･･････(5)

ここで， ${\displaystyle x=t}$ であるから

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=1}$　･･････(6)

となる．(6)を(5)に代入すると

${\displaystyle {\int }_{C_1}f\left(x,y\right)dx={\int }_a^{b}f\left(t,\psi \left(t\right)\right)dt}$　･･････(7)

[2] ${\displaystyle {\int }_{C_2}f\left(x,y\right)dx}$

経路 ${\displaystyle C_2}$ において， ${\displaystyle x}$ は常に ${\displaystyle x=b}$ である．

よって， ${\displaystyle y=t}$ とおいて， ${\displaystyle C_2}$ を変数 ${\displaystyle t}$ および定数 ${\displaystyle b}$ を用いて表すと

${\displaystyle \left\{\left(b,t\right);t\in \left[\psi \left(b\right),\varphi \left(b\right)\right]\right\}}$　･･････(8)

[1]と同様に積分変数が${\displaystyle t}$ の定積分に置換すると

${\displaystyle {\int }_{C_1}f\left(x,y\right)dx={\int }_{\psi \left(x\right)}^{\varphi \left(x\right)}f\left(b,t\right)\frac{dx}{dt}dt}$　･･････(9)

となる． ${\displaystyle x=b}$ と一定であるから，

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=0}$　･･････(10)

となる．よって，(9)は

${\displaystyle {\int }_{C_2}f\left(x,y\right)dx={\int }_{\psi \left(x\right)}^{\varphi \left(x\right)}f\left(b,t\right)\frac{dx}{dt}dt=0}$　･･････(11)

となる．

[3] ${\displaystyle {\int }_{C_3}f\left(x,y\right)dx}$

[1]と同様に ${\displaystyle x=t}$ とおいて ${\displaystyle C_3}$ を変数 ${\displaystyle t}$ を用いて表すと

${\displaystyle \left\{\left(t,\varphi \left(t\right)\right);t\in \left[a,b\right]\right\}}$　･･････(12)

となる．

この曲線上において ${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle b}$ から ${\displaystyle a}$ に変化させると，経路 ${\displaystyle C_3}$に沿って点${\displaystyle \left(t,\varphi \left(t\right)\right)}$ は点 ${\displaystyle \text{E}}$ から点 ${\displaystyle \text{H}}$ に移動することから， 線積分 ${\displaystyle {\int }_{C_3}f\left(x,y\right)dx}$ を積分変数が${\displaystyle t}$ の定積分に置換すると

${\displaystyle {\int }_{C_3}f\left(x,y\right)dx}$${\displaystyle ={\int }_b^{a}f\left(t,\varphi \left(t\right)\right)\frac{dx}{dt}dt}$${\displaystyle =-{\int }_a^{b}f\left(t,\varphi \left(t\right)\right)\frac{dx}{dt}dt}$　･･････(13)

となる． ${\displaystyle x=t}$ であるから

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=1}$　･･････(14)

となる．(14)を(13)に代入すると

${\displaystyle {\int }_{C_3}f\left(x,y\right)dx=-{\int }_a^{b}f\left(t,\varphi \left(t\right)\right)dt}$　･･････(15)

となる．

[4] ${\displaystyle {\int }_{C_4}f\left(x,y\right)dx}$

経路 ${\displaystyle C_4}$ において， ${\displaystyle x}$ は常に ${\displaystyle x=a}$ である．

よって，[2]と同様に

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=0}$　･･････(16)

となる．よって，(14)は

${\displaystyle {\int }_{C_4}f\left(x,y\right)dx=0}$　･･････(17)

となる．

[1]，[2]，[3]，[4]より

${\displaystyle {\int }_{C}f\left(x,y\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_{C_1}f\left(x,y\right)dx+{\int }_{C_2}f\left(x,y\right)dx+{\int }_{C_3}f\left(x,y\right)dx+{\int }_{C_4}f\left(x,y\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(t,\psi \left(t\right)\right)dt+0-{\int }_a^{b}f\left(t,\varphi \left(t\right)\right)dt+0}$

${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(t,\psi \left(t\right)\right)dt-{\int }_a^{b}f\left(t,\varphi \left(t\right)\right)dt}$

${\displaystyle =-\left[{\int }_a^{b}f\left(t,\varphi \left(t\right)\right)dt-{\int }_a^{b}f\left(t,\psi \left(t\right)\right)dt\right]}$　･･････(18)

累次積分と線積分による解をまとめると

累次積分による解((2)を再掲載)

${\displaystyle {\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy={\int }_a^{b}f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)dx-{\int }_a^{b}f\left(x,\psi \left(x\right)\right)dx}$　･･････(19)

線積分による解((16)を再掲載)

${\displaystyle {\int }_{C}f\left(x,y\right)dx=-\left[{\int }_a^{b}f\left(t,\varphi \left(t\right)\right)dt-{\int }_a^{b}f\left(t,\psi \left(t\right)\right)dt\right]}$　･･････(20)

(20)に(19)を代入すると

${\displaystyle {\int }_{C}f\left(x,y\right)dx}$${\displaystyle =-{\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy}$

${\displaystyle {\iint }_D{f}_y\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle =-{\int }_{C}f\left(x,y\right)dx}$　･･････(21)

が得られる．

　

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最終更新日：2024年10月7日