グリーンの定理（補題2）

${\displaystyle xy}$ 平面上において ${\displaystyle D}$ を有界な領域とする． ${\displaystyle D}$ の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする．この境界を ${\displaystyle C}$ とし，正の向きを定める．閉領域 ${\displaystyle D}$ が横線形領域 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle :c\leqq y\leqq d}$， ${\displaystyle \xi \left(y\right)\leqq x\leqq \zeta \left(y\right)}$ と表せ， 2変数関数 ${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ が閉領域 ${\displaystyle D}$ で1回微分可能であるならば次式が成り立つ．

${\displaystyle {\iint }_D{g}_x\left(x,y\right)dxdy={\int }_{C}g\left(x,y\right)dy}$　･･････(1)

■導出

領域を図示すると図のようになる．これを累次積分(重積分)と考えて式を変形すると

${\displaystyle {\iint }_D{g}_x\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle ={\int }_c^d\left({\int }_{\xi \left(y\right)}^{\zeta \left(y\right)}{g}_x\left(x,y\right)dx\right)dy}$

${\displaystyle y}$ を固定して ${\displaystyle f_x\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle x}$ で積分する

${\displaystyle ={\int }_c^d\left({\left[g\left(x,y\right)\right]}_{\xi \left(y\right)}^{\zeta \left(y\right)}\right)dy}$

${\displaystyle y}$ は固定しているので ${\displaystyle x}$ のみが変化する

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_c^d\left\{g\left(\zeta \left(y\right),y\right)-g\left(\xi \left(y\right),y\right)\right\}dy}$

定積分の基本式を使用して2つの積分に分ける

${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_c^{d}g\left(\zeta \left(y\right),y\right)dy-{{\displaystyle \int }}_c^{d}g\left(\xi \left(y\right),y\right)dy}$ 　･･････(2)

次に，線積分と考えて式を変形する．

境界 ${\displaystyle C}$ において点$\text{A}\to$点$\text{B}\to$点$\text{C}\to$点$\text{D}\to$点$\text{E}\to$点$\text{F}\to$点$\text{G}\to$点$\text{H}\to$点$A$ と一周する経路を正の向きとする．

点${\displaystyle \text{G}}$ から点 ${\displaystyle \text{B}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_5}$
点${\displaystyle \text{B}}$ から点 ${\displaystyle \text{C}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_6}$
点${\displaystyle \text{C}}$ から 点${\displaystyle \text{F}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_7}$
点${\displaystyle \text{F}}$ から点 ${\displaystyle \text{G}}$ に至る経路を ${\displaystyle C_8}$

とすると，境界 ${\displaystyle C}$ に沿った線積分は次のように表せる．

${\displaystyle {\int }_{C}g\left(x,y\right)dy={\int }_{C_5}g\left(x,y\right)dy}$${\displaystyle +{\int }_{C_6}g\left(x,y\right)dy}$${\displaystyle +{\int }_{C_7}g\left(x,y\right)dy}$${\displaystyle +{\int }_{C_8}g\left(x,y\right)dy}$　･･････(3)

右辺の各項について考える．

[1] ${\displaystyle {\int }_{C_5}g\left(x,y\right)dy}$

${\displaystyle y=t}$ とおいて， ${\displaystyle C_5}$ を変数 ${\displaystyle t}$ を用いて表すと

${\displaystyle \left\{\left(\xi \left(t\right),t\right);t\in \left[c,d\right]\right\}}$　･･････(4)

となる．

この曲線上において ${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle d}$ から ${\displaystyle c}$ に変化させると，点${\displaystyle \zeta }$ は経路 ${\displaystyle C_5}$に沿って ${\displaystyle G}$ から ${\displaystyle B}$ に移動することから，線積分 ${\displaystyle {\int }_{C_1}g\left(x,y\right)dy}$ を積分変数が$t$の 定積分に置換すると

${\displaystyle {\int }_{C_5}g\left(x,y\right)dy={\int }_d^{c}g\left(\xi \left(t\right),t\right)\frac{dy}{dt}dt}$　･･････(5)

ここで， ${\displaystyle y=t}$ であるから

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=1}$　･･････(6)

となる．(6)を(5)に代入すると

${\displaystyle {\int }_{C_5}g\left(x,y\right)dy={\int }_d^{c}g\left(\xi \left(t\right),t\right)dt}$${\displaystyle =-{{\displaystyle \int }}_c^{d}g\left(\xi \left(t\right),t\right)dt}$　･･････(7)

[2] ${\displaystyle {\int }_{C_6}g\left(x,y\right)dy}$

経路 ${\displaystyle C_6}$ において， ${\displaystyle y}$ は常に ${\displaystyle y=c}$ である．

よって， ${\displaystyle x=t}$ とおいて， ${\displaystyle C_6}$ を変数 ${\displaystyle t}$ および定数 ${\displaystyle c}$ を用いて表すと

${\displaystyle \left\{\left(t,c\right);t\in \left[\xi \left(c\right),\zeta \left(c\right)\right]\right\}}$　･･････(8)

[1]と同様に積分変数が$t$の定積分に置換すると

${\displaystyle {\int }_{C_6}g\left(x,y\right)dy={\int }_{\xi \left(y\right)}^{\zeta \left(y\right)}g\left(t,c\right)\frac{dy}{dt}dt}$　･･････(9)

ここで， ${\displaystyle y=c}$ であるから

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=0}$　･･････(10)

となる．よって

${\displaystyle {\int }_{C_2}g\left(x,y\right)dy={\int }_{\xi \left(y\right)}^{\zeta \left(y\right)}g\left(t,b\right)\frac{dy}{dt}dt=0}$　･･････(11)

[3] ${\displaystyle {\int }_{C_3}g\left(x,y\right)dy}$

[1]と同様に ${\displaystyle y=t}$ とおいて ${\displaystyle C_7}$ を変数 ${\displaystyle t}$ を用いて表すと

${\displaystyle \left\{\left(\zeta \left(t\right),t\right);t\in \left[c,d\right]\right\}}$　･･････(12)

となる．

この曲線上において ${\displaystyle t}$ を ${\displaystyle c}$ から ${\displaystyle d}$ に変化させると，点$\left(t,\zeta \left(t\right)\right)$ は経路 ${\displaystyle C_3}$に沿って ${\displaystyle \text{C}}$ から ${\displaystyle \text{D}}$ に移動することから， 線積分 ${\displaystyle {\int }_{C_7}g\left(x,y\right)dy}$ を積分変数が$t$の定積分に置換すると

${\displaystyle {\int }_{C_7}g\left(x,y\right)dy}$${\displaystyle ={\int }_c^{d}g\left(\zeta \left(t\right),t\right)\frac{dy}{dt}dt}$　･･････(13)

ここで， ${\displaystyle y=t}$ であるから

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=1}$　･･････(14)

となる．(14)を(13)に代入すると

${\displaystyle {\int }_{C_7}g\left(x,y\right)dy={\int }_c^{d}g\left(\zeta \left(t\right),t\right)dt}$　･･････(15)

となる．

[4] ${\displaystyle {\int }_{C_4}g\left(x,y\right)dy}$

経路 ${\displaystyle C_8}$ において， ${\displaystyle y}$ は常に ${\displaystyle y=d}$ である．

よって，[2]と同様に

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=0}$　･･････(16)

となる．よって，

${\displaystyle {\int }_{C_8}g\left(x,y\right)dy=0}$　･･････(17)

[1]，[2]，[3]，[4]より

${\displaystyle {\int }_{C}f\left(x,y\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_{C_5}g\left(x,y\right)dy+{\int }_{C_6}g\left(x,y\right)dy+{\int }_{C_7}g\left(x,y\right)dy+{\int }_{C_8}g\left(x,y\right)dy}$

${\displaystyle =-{\int }_c^{d}g\left(\xi \left(t\right),t\right)dt+0+{\int }_c^{d}g\left(\zeta \left(t\right),t\right)dt+0}$

${\displaystyle ={\int }_c^{d}g\left(\zeta \left(t\right),t\right)dt-{\int }_c^{d}g\left(\xi \left(t\right),t\right)dt}$　･･････(18)

累次積分と線積分による解をまとめると

累次積分による解((2)を書き直している)

${\displaystyle {\iint }_D{g}_x\left(x,y\right)dxdy={\int }_c^{d}g\left(\zeta \left(y\right),y\right)dy-{\int }_c^{d}g\left(\xi \left(y\right),y\right)dy}$　･･････(19)

線積分による解((18)を書き直している)

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{C}g\left(x,y\right)dy={{\displaystyle \int }}_c^{d}g\left(\zeta \left(t\right),t\right)dt-{{\displaystyle \int }}_c^{d}g\left(\xi \left(t\right),t\right)dt}$ 　･･････(20)

(20)に(19)を代入して

${\displaystyle {\int }_{C}g\left(x,y\right)dy}$${\displaystyle ={\iint }_D{g}_x\left(x,y\right)dxdy}$

${\displaystyle {\iint }_D{g}_x\left(x,y\right)dxdy}$${\displaystyle ={\int }_{C}g\left(x,y\right)dy}$　･･････(21)

が得られる．

　

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最終更新日： 2024年10月7日