対数関数の一般形

対数関数 $y = \log_{a} x$ のグラフを原点を中心に $x$ 軸方向，および， $x$ 方向に拡大した後，平行移動したグラフを表す関数は、一般的に

$y = \log_{α} (x + β) + γ$ 　･･････(1)

ただし， $α > 0$ ， $α \neq 1$ であるとする．

と表すことができる．(１)のことをKIT数学ナビゲーションでは，対数関数の一般形ということにする．

■解説

$y = \log_{a} x$ のグラフを，原点を中心に $x$ 軸方向に $u$ ， $x$ 方向に $v$ 拡大した後， $x$ 軸方向に $p$ ， $y$ 方向に $q$ 平行移動したグラフを表す関数は

$\frac{y - q}{v} = \log_{a} \frac{x - p}{u}$ 　･･････(2)

となる．この式に関しては，グラフの拡大→グラフの平行移動した関数を参考にするとよい．

(2)を以下のように式変形をする．

$\frac{y - q}{v} = \log_{a} (x - p) - \log_{a} u$ 　（∵ ${log}_{a} \frac{R}{S} = {log}_{a} R - {log}_{a} S$ 詳しくはここを参照）

$y - q = v \log_{a} (x - p) - v \log_{a} u$

$y - q = \frac{\log_{a} (x - p)}{\frac{1}{v}} - v \log_{a} u$

$y = \frac{\log_{a} (x - p)}{\log_{a} a^{\frac{1}{v}}} - v \log_{a} u + q$ 　（∵ ${log}_{a} R^{t} = t {log}_{a} R$ 詳しくはここを参照）

$y = \log_{a^{\frac{1}{v}}} (x - p) - v \log_{a} u + q$ 　（∵ ${log}_{a} R = \frac{{log}_{b} R}{{log}_{b} a}$ 詳しくはここを参照）

$a^{\frac{1}{v}} = α$ ， $- p = β$ ， $- v \log_{a} u + q = γ$ とおくと

$y = \log_{α} (x + β) + γ$

となり，(1)が得られる．

$y = \log_{α} x$ のグラフの漸近線は $y$ 軸である．

$y = \log_{α} (x + β) + γ$ のグラフは $y = \log_{α} x$ のグラフを $y$ 方向に $- β$ ， $y$ 方向に $γ$ 平行移動したものになる．

よって， $y = \log_{α} (x + β) + γ$ のグラフの漸近線は

直線 $x = - β$

となる．

今度は，極限を使った方法で $y = \log_{α} (x + β) + γ$ のグラフの漸近線を求めてみる．

$α > 1$ のとき

$\lim_{x \to - β + 0} \{\log_{α} (x + β) + γ\}$ $= \{\lim_{x \to - β + 0} \log_{α} (x + β)\} + γ$ $= - \infty + γ = - \infty$

$0 < α < 1$ のとき

$\lim_{x \to - β + 0} \{\log_{α} (x + β) + γ\}$ $= \{\lim_{x \to - β + 0} \log_{α} (x + β)\} + γ$ $= \infty + γ = \infty$

$α > 1$ ， $0 < α < 1$ のいずれの場合も，直線 $x = - β$ が $y = \log_{α} (x + β) + γ$ のグラフの漸近線となる．

最終更新日： 2024年2月29日