因数分解の公式 (x-y)^3

${\displaystyle x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3={\left(x-y\right)}^3}$

■導出

${\displaystyle x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}$ を ${\displaystyle x}$ の関数と考えて

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}$

とおく．

${\displaystyle f\left(y\right)=y^3-3y^3+3y^3-y^3=0}$

よって，因数定理より ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は ${\displaystyle x-y}$ を因数に持つ．

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^2-2xy+y^2\\ x-y)\overline{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}\\ x^3-x^{2}y\\ \overline{-2x^{2}y+3x{y}^2}\\ -2x^{2}y+2x{y}^2\\ \overline{\begin{array}{l}x{y}^2-y^3\\ x{y}^2-y^3\end{array}}\\ \overline{0}\end{array}}$

より

${\displaystyle f\left(x\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)}$

となる．

さらに因数分解をすると

${\displaystyle f\left(x\right)=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x-y\right)}$  

${\displaystyle ={\left(x-y\right)}^3}$  

となる．

以上より

${\displaystyle x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3={\left(x-y\right)}^3}$

と因数分解できる．

これは ${\displaystyle {\left(x-y\right)}^3}$ の展開公式の逆である．

　

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最終更新日： 2026年6月11日