２重根号のはずし方

２重根号をはずすときに用いる式

• $a>0,b>0$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

• ${\displaystyle a>b>0}$ のとき，${\displaystyle \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}$  

■式の導出

${\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}}$ を2乗すると， 

${\displaystyle {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}$

${\displaystyle ={\left(\sqrt{a}\right)}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2}$

${\displaystyle =a+2\sqrt{ab}+b}$

${\displaystyle =a+b+2\sqrt{ab}}$

すなわち，

${\displaystyle {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2=a+b+2\sqrt{ab}}$  

となる．次に，両辺の2乗根をとると，

${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}}}$

　　(∵${\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}>0}$ )

となり，上式が得られる．

${\displaystyle \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}$  は${\displaystyle \sqrt{a}-\sqrt{b}>0}$ に注意して同様に計算すればよい．

■事例

${\displaystyle \sqrt{5+2\sqrt{6}}}$ の2重根号をはずすには，${\displaystyle \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$  と比較をすることにより，

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a+b=5\\ ab=6\end{array}}$  

を満たすa ，bを求めればよいことがわかる．

${\displaystyle ab=6}$ より，${\displaystyle \left(a,b\right)=\left(1,6\right),\left(2,3\right)}$ が候補となる．（${\displaystyle a>b>0}$ の場合を考えている．a ，bが入れ替わっても同じであるため． ） 

候補の中で，${\displaystyle a+b=5}$ を満たすのは，${\displaystyle \left(a,b\right)=\left(2,3\right)}$ である．

よって，

${\displaystyle \sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}}$  

となる．

 

${\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}}$  の2重根号をはずすには，まず，根号√の前に2がついている必要がある（例えば，${\displaystyle 2\sqrt{3}}$のようになっている必要がある）．

よって，

${\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{1}}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{2・1}}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}}$

のように式を変形する．

• ${\displaystyle \sqrt{6+2\sqrt{5}}}$

• ${\displaystyle =\sqrt{1+5+2\sqrt{5・1}}}$

• ${\displaystyle =\sqrt{5}+1}$

より，

${\displaystyle \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+1\right)}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}$

（分母を有理化する）

${\displaystyle =\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}}$

以上より， 

${\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}}$  

となる．

　

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最終更新日： 2023年7月14日