絶対値の性質4の証明

${\displaystyle \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|}$　･･････(1)

■証明

●${\displaystyle a>0}$ ， $b>0$ のとき

左辺は，${\displaystyle ab>0}$ より

${\displaystyle \left|ab\right|=ab}$　（絶対値の性質1を参照） 　･･････(2)

となる．

右辺は，$\left|a\right|=a$， $\left|b\right|=b$ より（絶対値の性質1を参照）

${\displaystyle \left|a\right|\times \left|b\right|=ab}$ 　 　･･････(3)

となる．

(2)，(3)より(1)が成り立つ．

●$a<0$ ， $b>0$ のとき

$-a=\alpha >0$とおく．

左辺は，${\displaystyle ab<0}$ より

${\displaystyle \left|ab\right|=-ab=\alpha b}$ 　（絶対値の性質1を参照） 　･･････(4)

となる．

右辺は，${\displaystyle \left|a\right|=-a=\alpha }$ ， $\left|b\right|=b$ より（絶対値の性質1を参照）

${\displaystyle \left|a\right|\times \left|b\right|=-ab=\alpha b}$ 　 　･･････(5)

となる．

(4)，(5)より(1)が成り立つ．

●$a>0$ ， $b<0$ のとき

${\displaystyle -b=\beta >0}$ とおく．

左辺は，${\displaystyle ab<0}$ より

${\displaystyle \left|ab\right|=a\left(-b\right)=\alpha \beta }$ 　（絶対値の性質1を参照） 　･･････(6)

となる．

右辺は，${\displaystyle \left|a\right|=a}$ ， ${\displaystyle \left|b\right|=-b=\beta }$ より（絶対値の性質1を参照）

${\displaystyle \left|a\right|\times \left|b\right|=a\left(-b\right)=a\beta }$ 　 　･･････(7)

となる．

(6)，(7)より(1)が成り立つ．

●$a<0$ ， $b<0$ のとき

${\displaystyle -a=\alpha >0}$ ，${\displaystyle -b=\beta >0}$ とおく．

左辺は，${\displaystyle ab>0}$ より

${\displaystyle \left|ab\right|=ab}$ 　（絶対値の性質1を参照） 　･･････(8)

となる．

右辺は，${\displaystyle \left|a\right|=-a=\alpha }$ ， ${\displaystyle \left|b\right|=-b=\beta }$ より（絶対値の性質1を参照）

${\displaystyle \left|a\right|\times \left|b\right|=\left(-a\right)\left(-b\right)=ab}$ 　･･････(9)

となる．

(8)，(9)より(1)が成り立つ．

●${\displaystyle a}$ ， ${\displaystyle b}$ の少なくとも一方が $0$ のとき

左辺は，${\displaystyle ab=0}$ より

${\displaystyle \left|ab\right|=0}$ 　･･････(10)

となる．

右辺は，${\displaystyle \left|a\right|}$ ， ${\displaystyle \left|b\right|}$ の少なくとも一方が $0$ より

${\displaystyle \left|a\right|\times \left|b\right|=0}$ 　･･････(11)

となる．

(10)，(11)より(1)が成り立つ．

以上より

実数$a$， $b$ について

${\displaystyle \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|}$

が成り立つ．

 

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最終更新日： 2024年7月24日