|a/b|=|a|/|b|の証明

絶対値の性質5の証明

a b = a b  ただし, b0  ・・・・・・(1)

■証明

a>0 b>0 のとき

左辺は, a b >0 より

a b = a b  (絶対値の性質1を参照)  ・・・・・・(2)

となる.

右辺は, a =a b =b より(絶対値の性質1を参照)

a b = a b    ・・・・・・(3)

となる.

(2),(3)より(1)が成り立つ.

a<0 b>0 のとき

a=α>0 とおく.

左辺は, a b <0 より

a b = a b = a b = α b  (絶対値の性質1を参照)  ・・・・・・(4)

となる.

右辺は, a =a=α b =b より(絶対値の性質1を参照)

a b = a b = α b    ・・・・・・(5)

となる.

(4),(5)より(1)が成り立つ.

a>0 b<0 のとき

b=β>0 とおく.

左辺は, a b <0 より

a b = a b = a b = a β  (絶対値の性質1を参照)  ・・・・・・(6)

となる.

右辺は, a =a b =b=β より(絶対値の性質1を参照)

a b = a b = a β    ・・・・・・(7)

となる.

(6),(7)より(1)が成り立つ.

a<0 b<0 のとき

a=α>0 b=β>0 とおく.

左辺は, a b >0 より

a b = a b  (絶対値の性質1を参照)  ・・・・・・(8)

となる.

右辺は, a =a=α b =b=β より(絶対値の性質1を参照)

a b = a b = a b  ・・・・・・(9)

となる.

(8),(9)より(1)が成り立つ.

a=0 のとき

左辺は, a b =0 より

a b =0  ・・・・・・(10)

となる.

右辺は, a =0 より

a b = 0 b =0  ・・・・・・(11)

となる.

(10),(11)より(1)が成り立つ.

以上より

実数 a b について

a b = a b  ただし, b0

が成り立つ.

 

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最終更新日: 2024年7月24日