フーリエ変換の応用例

熱伝導現象を，フーリエ変換を使って解析する．${\displaystyle x}$ 軸方向に伸びた無限長の針金を考える．針金の時刻 ${\displaystyle t}$ ，位置${\displaystyle x}$ における温度を${\displaystyle u\left(x,t\right)}$ とする．針金の断面積を${\displaystyle S}$ として，位置${\displaystyle x}$ から位置${\displaystyle x+\Delta x}$ の間の微小要素を考える．また，時刻${\displaystyle t}$ ，位置${\displaystyle x}$ における針金の断面を通過する単位時間当たりの熱量を${\displaystyle Q\left(x,t\right)}$ と表すことにし，${\displaystyle x}$ の正方向を${\displaystyle Q\left(x,t\right)}$ の正方向とする．

物体の熱伝導においては

${\displaystyle Q\left(x,t\right)=-\alpha \frac{\partial }{\partial x}u\left(x,t\right)}$ 　･･････(1)

となる関係がある． ${\displaystyle \alpha }$ は比例定数で熱伝導率という．

微小要素に流れこむ単位時間当たりの熱量は

微小要素に流れでる単位時間当たりの熱量は，1次近似式を用いると

と表される．よって，時間${\displaystyle \Delta t}$ の間に微小要素に蓄積される熱量${\displaystyle \Delta Q_1}$ は

となる．

一方，微小要素に蓄積される熱によって時間${\displaystyle \Delta t}$ の間に温度が${\displaystyle \Delta u}$ 上昇したとする．

針金の断面積を${\displaystyle S}$ ，比熱を${\displaystyle \rho }$ ，密度を${\displaystyle \sigma }$ とすると，${\displaystyle \Delta u}$の温度上昇に必要な熱量${\displaystyle \Delta Q_2}$ は

${\displaystyle \Delta Q_2=\rho \sigma S\Delta x\Delta u}$　･･････(5)

となる．

微小要素内部からの発熱がないとすると${\displaystyle \Delta Q_1=\Delta Q_2}$ となる．よって

${\displaystyle \alpha \left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u\left(x,t\right)\right)\Delta x\Delta t=\rho \sigma S\Delta x\Delta u}$

${\displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta t}=\frac{\alpha }{\rho \sigma S}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u\left(x,t\right)\right)}$

となる．${\displaystyle \Delta t\to 0}$ とすると

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}u\left(x,t\right)=\frac{\alpha }{\rho \sigma S}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u\left(x,t\right)\right)}$

となる．${\displaystyle \frac{\alpha }{\rho \sigma S}=c^2}$ ，${\displaystyle c>0}$ とおくと

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}}$　･･････(6)

となり，変数${\displaystyle t}$ ，${\displaystyle x}$ の間に成り立つ偏微分方程式が得られる．

この針金に，${\displaystyle t=0}$ の時刻に${\displaystyle x=0}$ の位置にレーザー光で局部的に加熱する．そのときの温度分布${\displaystyle u\left(x,0\right)}$ を

${\displaystyle u\left(x,0\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{u_0}{\epsilon }& -\frac{\epsilon }{2}<x<\frac{\epsilon }{2}\\ 0& \left|\frac{\epsilon }{2}\right|>x\end{array}\right.}$，${\displaystyle \epsilon \to 0}$　･･････(7)

であると近似する．

対称性を考えると${\displaystyle u\left(x,t\right)}$ は${\displaystyle x}$ に関しては偶関数になる．よって，${\displaystyle u\left(x,t\right)}$ を変数${\displaystyle x}$に関してフーリエ余弦変換を行うと

${\displaystyle u\left(x,t\right)}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{U}_c\left(\omega ,t\right)\cos \omega xd\omega }}$　･･････(8)

となる．

(8)の両辺を${\displaystyle t}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}u\left(x,t\right)}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(\frac{\partial }{\partial t}{U}_c\left(\omega ,t\right)\right)\cos \omega xd\omega }}$　･･････(9)

となる．(9)の両辺を${\displaystyle x}$ で2回偏微分すると

${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u\left(x,t\right)}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{U}_c\left(\omega ,t\right)\left(-{\omega }^2\cos \omega x\right)d\omega }}$

${\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u\left(x,t\right)}$${\displaystyle =-{\omega }^2\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{U}_c\left(\omega ,t\right)\left(\cos \omega x\right)d\omega }}$　･･････(10)

となる．(9)，(10)を偏微分方程式(6)に代入すると，

となる．したがって，両辺を比較することにより

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}{U}_c\left(\omega ,t\right)=-c^2{\omega }^2{U}_c\left(\omega ,t\right)}$　･･････(12)

が得られる．(12)の一般解は

${\displaystyle U_c\left(\omega ,t\right)=A{e}^{-c^2{\omega }^{2}t}}$　･･････(13)

（${\displaystyle A}$ は任意定数）

となる． (7)で表される${\displaystyle u\left(x,0\right)}$ は偶関数なので，フーリエ余弦変換すると

${\displaystyle U_c\left(\omega ,0\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }u\left(x,0\right)\cos \omega xdx}}$　･･････(14)

となる．この問題の結果を用いると

${\displaystyle =\frac{u_0}{\sqrt{2\pi }}}$

となる．よって

${\displaystyle U_c\left(\omega ,0\right)=A=\frac{u_0}{\sqrt{2\pi }}}$　･･････(15)

となる．(15)を(13)に代入すると，

${\displaystyle U_c\left(\omega ,t\right)=\frac{u_0}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-c^2{\omega }^{2}t}}$　･･････(16)

となる${\displaystyle u\left(x,t\right)}$のフーリエ余弦変換が得られる．

次に，(16)を(8)に代入して${\displaystyle u\left(x,t\right)}$ を求める．

${\displaystyle u\left(x,t\right)}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{u_0}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-c^2{\omega }^{2}t}\cos \omega xd\omega }}$

${\displaystyle u\left(x,t\right)=\frac{u_0}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-c^2{\omega }^{2}t}\cos \omega xd\omega }}$

ここで，ラプラス積分

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-a^2{x}^2}\cos bxdx}=\frac{\sqrt{\pi }}{2a}{e}^{-\frac{b^2}{4a^2}}}$　${\displaystyle \left(a>0\right)}$

を用いると

${\displaystyle u\left(x,t\right)=\frac{u_0}{\pi }\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2c\sqrt{t}}{e}^{-\frac{x^2}{4c^{2}t}}}$${\displaystyle =\frac{u_0}{2c\sqrt{\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{4c^{2}t}}}$

となり，${\displaystyle u\left(x,t\right)}$ が求まった．

　

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最終更新日： 2024年10月7日