フーリエ変換の問題

■問題

偶関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{k}{L}& -\frac{L}{2}<x<\frac{L}{2}\\ 0& \left|\frac{L}{2}\right|\geqq x\end{array}\right.}$

のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$を求めよ．また，${\displaystyle \underset{L\to 0}{\lim }{F}_c\left(\omega \right)}$ を求めよ．

■解答

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\frac{k}{L\omega }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin \frac{L\omega }{2}}$，${\displaystyle \underset{L\to 0}{\lim }{F}_c\left(\omega \right)=\frac{k}{\sqrt{2\pi }}}$

■解き方

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{L}{2}}\frac{k}{L}\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cdot \frac{k}{L}\cdot {\left[\frac{1}{\omega }\sin \omega x\right]}_0^{\frac{L}{2}}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cdot \frac{k}{L}\cdot \frac{1}{\omega }\sin \frac{L\omega }{2}}$

${\displaystyle =\frac{k}{L\omega }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin \frac{L\omega }{2}}$

${\displaystyle \underset{L\to 0}{\lim }{F}_c\left(\omega \right)=\underset{L\to 0}{\lim }\frac{k}{L\omega }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin \frac{L\omega }{2}}$

${\displaystyle =\underset{L\to 0}{\lim }\frac{k}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{\sin \frac{L\omega }{2}}{\frac{L\omega }{2}}}$

${\displaystyle =\frac{k}{\sqrt{2\pi }}}$

（∵ここを参照）

　

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最終更新日： 2023年7月7日