フーリ変換(フーリエ余弦変換，フーリエ正弦変換)

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が偶関数のとき

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_c\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

となる． ${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$ を${\displaystyle f\left(x\right)}$のフーリエ余弦変換という．

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が奇関数のとき

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_s\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

となる． ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を${\displaystyle f\left(x\right)}$のフーリエ正弦変換という．

■導出

フーリエ積分

${\displaystyle \frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}=G\left(\omega \right)}$

${\displaystyle \frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}=H\left(\omega \right)}$

において，${\displaystyle f\left(x\right)}$ が偶関数のとき，${\displaystyle v}$ の関数${\displaystyle f\left(v\right)\cos \omega v}$ は偶関数になるので

${\displaystyle G\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}}$${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}}$

${\displaystyle v}$ の関数${\displaystyle f\left(v\right)\sin \omega v}$ は奇関数になるので

${\displaystyle H\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}=0}$

となり

${\displaystyle f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }G\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }}$　･･････(1)

となる．

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が奇関数のとき，${\displaystyle v}$ の関数${\displaystyle f\left(v\right)\cos \omega v}$ は奇関数になるので

${\displaystyle G\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}=0}$

${\displaystyle v}$ の関数${\displaystyle f\left(v\right)\sin \omega v}$ は偶関数になるので

${\displaystyle H\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}}$${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}}$

となり

${\displaystyle f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }H\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }}$　･･････(2)

となる．(1)，(2)の積分変数${\displaystyle v}$ を${\displaystyle x}$ に書き直し，さらに

${\displaystyle G\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_c\left(\omega \right)}$ ，${\displaystyle H\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_s\left(\omega \right)}$

と置き直すと

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が偶関数のとき

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_c\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

となり，${\displaystyle f\left(x\right)}$ が奇関数のとき

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_s\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

となる．

　

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最終更新日： 2023年7月3日