フーリ変換(フーリエ余弦変換,フーリエ正弦変換)

f x 偶関数のとき

f x = 2 π 0 F c ω cosωxdω

F c ω = 2 π 0 f x cosωxdx

となる. F c ω f x フーリエ余弦変換という.

f x 奇関数のとき

f x = 2 π 0 F s ω sinωxdω

F s ω = 2 π 0 f x sinωxdx

となる. F s ω f x フーリエ正弦変換という.

■導出

フーリエ積分

f x = 0 G ω cosωx+H ω sinωx dω

1 π f v cosωvdv =G ω

1 π f v sinωvdv =H ω

において, f x が偶関数のとき, v の関数 f v cosωv は偶関数になるので

G ω = 1 π f v cosωvdv = 2 π 0 f v cosωvdv

v の関数 f v sinωv は奇関数になるので

H ω = 1 π f v sinωvdv =0

となり

f x = 0 G ω cosωxdω  ・・・・・・(1)

となる.

f x が奇関数のとき, v の関数 f v cosωv は奇関数になるので

G ω = 1 π f v cosωvdv =0

v の関数 f v sinωv は偶関数になるので

H ω = 1 π f v sinωvdv = 2 π 0 f v sinωvdv

となり

f x = 0 H ω sinωxdω  ・・・・・・(2)

となる.(1),(2)の積分変数 v x に書き直し,さらに

G ω = 2 π F c ω H ω = 2 π F s ω

と置き直すと

f x 偶関数のとき

f x = 2 π 0 F c ω cosωxdω

F c ω = 2 π 0 f x cosωxdx

となり, f x 奇関数のとき

f x = 2 π 0 F s ω sinωxdω

F s ω = 2 π 0 f x sinωxdx

となる.

 

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最終更新日: 2023年7月3日