フーリエ変換(フーリエ余弦変換，フーリエ正弦変換)

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が偶関数のとき

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_c\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

となる． ${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$ を ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換という．

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が奇関数のとき

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_s\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

となる． ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換という．

■導出

フーリエ積分より

${\displaystyle \frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}=G\left(\omega \right)}$   ･･････(2)

${\displaystyle \frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}=H\left(\omega \right)}$   ･･････(3)

である．

● ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が偶関数のとき

${\displaystyle v}$ の関数 ${\displaystyle f\left(v\right)\cos \omega v}$ は偶関数になるので

${\displaystyle G\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}}$   ･･････(4)

${\displaystyle v}$ の関数 ${\displaystyle f\left(v\right)\sin \omega v}$ は奇関数になるので

${\displaystyle H\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}=0}$   ･･････(5)

となり

${\displaystyle f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }G\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }}$ ･･････(6)

となる．

(4)，(6)において

${\displaystyle G\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_c\left(\omega \right)}$

とおくと

(4)より

${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_c\left(\omega \right)=\frac{2}{\pi }{{\displaystyle \int }}_0^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}$

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{{\displaystyle \int }}_0^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}$   ･･････(7)

(6)より

${\displaystyle f\left(x\right)={{\displaystyle \int }}_0^{\infty }\sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_c\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{{\displaystyle \int }}_0^{\infty }{F}_c\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }$   ･･････(8)

(7)の積分変数 $v$ を $x$ に書き換えると

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$  ･･････(9)

すなわち

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_c\left(\omega \right)\cos \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

となる．

● ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が奇関数のとき

${\displaystyle v}$ の関数 ${\displaystyle f\left(v\right)\cos \omega v}$ は奇関数になるので

${\displaystyle G\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\cos \omega vdv}=0}$   ･･････(10)

${\displaystyle v}$ の関数 ${\displaystyle f\left(v\right)\sin \omega v}$ は偶関数になるので

${\displaystyle H\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}}$   ･･････(11)

となり

${\displaystyle f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }H\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }}$ ･･････(12)

となる．(11)，(12)において

${\displaystyle H\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_s\left(\omega \right)}$

とおくと

(11)より

${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_s\left(\omega \right)=\frac{2}{\pi }{{\displaystyle \int }}_0^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}$

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{{\displaystyle \int }}_0^{\infty }f\left(v\right)\sin \omega vdv}$   ･･････(13)

(12)より

${\displaystyle f\left(x\right)={{\displaystyle \int }}_0^{\infty }\sqrt{\frac{2}{\pi }}{F}_s\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{{\displaystyle \int }}_0^{\infty }{F}_s\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }$   ･･････(14)

となる．

(13)の積分変数 ${\displaystyle v}$ を ${\displaystyle x}$ に書き換えると

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

となる．

すなわち

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{F}_s\left(\omega \right)\sin \omega xd\omega }}$

${\displaystyle F_s\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\sin \omega xdx}}$

となる．

　

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最終更新日： 2026年8月12日