フーリエ積分

フーリエ級数の周期を無限大にすることにより得られる以下の式

f x = 0 G ω cosωx+H ω sinωx dω

1 π f v cosωvdv =G ω

1 π f v sinωvdv =H ω

フーリエ積分による f x 表示という.

■導出

後の積分の計算で混乱を避けるために式フーリエ係数の積分変数を x から v に変更する.定積分の積分変数が変わっても定積分の値は変わらない.

a 0 = 1 2 f x dx = 1 2 f v dv  ・・・・・・(1)

a n = 1 f x cos nπ xdx = 1 f v cos ω n vdv  ・・・・・・(2)

b n = 1 f x sin nπ xdx = 1 f v sin ω n vdv  ・・・・・・(3)

( nπ = ω n とおいている)

n=1,2,3, なので, ω 1 = π ω 2 = π ω 3 = π ,・・・のようになり, ω n は初項 ω 1 = π ,公差 Δω= π の等差数列の第 n 項と考えることができる.

周期 2 の周期関数を f x で表すことにする. f x フーリエ級数

f x a 0 + n=1 a n cos nπ x+ b n sin nπ x  ・・・・・・(4)

となる.(4)に(1),(2),(3)を代入すると

f x 1 2 f v dv + n=1 1 f v cos ω n vdv cos ω n x+ 1 f v sin ω n vdv sin ω n x  ・・・・・・(5)

となる. Δω= π より 1 = Δω π となり,これを(5)に代入すると

f x Δω 2π f v dv + n=1 Δω π f v cos ω n vdv cos ω n x+ Δω π f v sin ω n vdv sin ω n x

f x 1 2π f v dv Δω + n=1 1 π f v cos ω n vdv cos ω n x+ f v sin ω n vdv sin ω n x Δω  ・・・・・・(6)

ここで, にすると,フーリエ級数がどうなるか検討する.

lim f x lim 1 2π f v dv Δω + n=1 1 π f v cos ω n vdv cos ω n x+ f v sin ω n vdv sin ω n x Δω  ・・・・・・(7)

まず,(7)の右辺の第1項の

lim 1 2π f v dv Δω

の値をについて考える.

のとき, Δω= π より, Δω0 となる

今回取り扱う関数 f x は, lim 1 2π f v dv が有限の値をもつとする.この場合

lim 1 2π f v dv Δω=0

となる.

次に,(7)の右辺の第2項の

lim n=1 1 π f v cos ω n vdv cos ω n x+ f v sin ω n vdv sin ω n x Δω  ・・・・・・(8)

を,定積分の定義式

lim n i=1 n f c i Δx = a b f x dx  ・・・・・・(9)

ただし, Δx= ba n ,Δx i1 c i Δxi

と対比することにより,定積分の式に変換することを考える.

(9)の n の操作は, n のとき Δx0 となり,微小要素 f(x)Δx の数を無限大にするための操作である.また, n のとき, c 1 a c n b となる.(8)において定積分の定義式(9)の

c i に対応するのは ω n

Δx に対応するのは Δω

n ( Δx0 の操作)に対応するのは, ( Δω0 の操作),

a に対応するのは ω 1 で, のとき ω 1 0

b に対応するのは ω n で, のとき ω n

である.以上の対応関係より(8)式は

lim n=1 1 π f v cos ω n vdv cos ω n x+ f v sin ω n vdv sin ω n x Δω

= 0 1 π f v cosωvdv cosωx+ f v sinωvdv sinωx dω  ・・・・・・(10)

と,積分変数 ω 定積分に変換できる.

lim l f l x =f x

1 π f v cosωvdv =G ω

1 π f v sinωvdv =H ω

とおくと(7)は

f x = 0 G ω cosωx+H ω sinωx dω

となる.

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最終更新日: 2023年7月3日