フーリエ積分

フーリエ級数の周期を無限大にすることにより得られる以下の式

$f (x) = \int_{0}^{\infty} \{G (ω) \cos ω x + H (ω) \sin ω x\} d ω$

$\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \cos ω v d v = G (ω)$

$\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \sin ω v d v = H (ω)$

をフーリエ積分による $f (x)$ 表示という．

■導出

後の積分の計算で混乱を避けるために式フーリエ係数の積分変数を $x$ から $v$ に変更する．定積分の積分変数が変わっても定積分の値は変わらない．

$a_{0} = \frac{1}{2 ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (x) d x = \frac{1}{2 ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v$ 　･･････(1)

$a_{n} = \frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (x) \cos \frac{n π}{ℓ} x d x$ $= \frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \cos ω_{n} v d v$ 　･･････(2)

$b_{n} = \frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (x) \sin \frac{n π}{ℓ} x d x$ $= \frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \sin ω_{n} v d v$ 　･･････(3)

( $\frac{n π}{ℓ} = ω_{n}$ とおいている)

$n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ なので， $ω_{1} = \frac{π}{ℓ}$ ， $ω_{2} = \frac{π}{ℓ}$ ， $ω_{3} = \frac{π}{ℓ}$ ，･･･のようになり， $ω_{n}$ は初項 $ω_{1} = \frac{π}{ℓ}$ ，公差 $Δ ω = \frac{π}{ℓ}$ の等差数列の第 $n$ 項と考えることができる．

周期 $2 ℓ$ の周期関数を $f_{ℓ} (x)$ で表すことにする． $f_{ℓ} (x)$ のフーリエ級数は

$f_{ℓ} (x) \sim a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos \frac{n π}{ℓ} x + b_{n} \sin \frac{n π}{ℓ} x)$ 　･･････(4)

となる．(4)に(1)，(2)，(3)を代入すると

$f_{ℓ} (x) \sim \frac{1}{2 ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v$ $+ \sum_{n = 1}^{\infty} \{(\frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \cos ω_{n} v d v) \cos ω_{n} x + (\frac{1}{ℓ} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \sin ω_{n} v d v) \sin ω_{n} x\}$ 　･･････(5)

となる． $Δ ω = \frac{π}{ℓ}$ より $\frac{1}{ℓ} = \frac{Δ ω}{π}$ となり，これを(5)に代入すると

$f_{ℓ} (x) \sim \frac{Δ ω}{2 π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v$ $+ \sum_{n = 1}^{\infty} \{(\frac{Δ ω}{π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \cos ω_{n} v d v) \cos ω_{n} x + (\frac{Δ ω}{π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \sin ω_{n} v d v) \sin ω_{n} x\}$

$f_{ℓ} (x) \sim (\frac{1}{2 π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v) Δ ω$ $+ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{π} \{(\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \cos ω_{n} v d v) \cos ω_{n} x + (\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \sin ω_{n} v d v) \sin ω_{n} x\} Δ ω$ 　･･････(6)

ここで， $ℓ \to \infty$ にすると，フーリエ級数がどうなるか検討する．

$\lim_{ℓ \to \infty} f_{ℓ} (x) \sim \lim_{ℓ \to \infty} [(\frac{1}{2 π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v) Δ ω$ $+ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{π} \{(\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \cos ω_{n} v d v) \cos ω_{n} x + (\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \sin ω_{n} v d v) \sin ω_{n} x\} Δ ω]$ 　･･････(7)

まず，(7)の右辺の第１項の

$\lim_{ℓ \to \infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v) Δ ω$

の値をについて考える．

$ℓ \to \infty$ のとき， $Δ ω = \frac{π}{ℓ}$ より， $Δ ω \to 0$ となる

今回取り扱う関数 $f (x)$ は， $|\lim_{ℓ \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v|$ が有限の値をもつとする．この場合

$\lim_{ℓ \to \infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) d v) Δ ω = 0$

となる．

次に，(7)の右辺の第2項の

$\lim_{ℓ \to \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{π} \{(\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \cos ω_{n} v d v) \cos ω_{n} x + (\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \sin ω_{n} v d v) \sin ω_{n} x\} Δ ω$ 　･･････(8)

を，定積分の定義式

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ 　･･････(9)

ただし， $Δ x = \frac{b - a}{n}, Δ x (i - 1) ≦ c_{i} ≦ Δ x \cdot i$

と対比することにより，定積分の式に変換することを考える．

(9)の $n \to \infty$ の操作は， $n \to \infty$ のとき $Δ x \to 0$ となり，微小要素 $f (x) Δ x$ の数を無限大にするための操作である．また， $n \to \infty$ のとき， $c_{1} \to a$ ， $c_{n} \to b$ となる．(8)において定積分の定義式(9)の

$c_{i}$ に対応するのは $ω_{n}$ ，

$Δ x$ に対応するのは $Δ ω$ ，

$n \to \infty$ ( $Δ x \to 0$ の操作)に対応するのは， $ℓ \to \infty$ ( $Δ ω \to 0$ の操作)，

$a$ に対応するのは $ω_{1}$ で， $ℓ \to \infty$ のとき $ω_{1} \to 0$ ，

$b$ に対応するのは $ω_{n}$ で， $ℓ \to \infty$ のとき $ω_{n} \to \infty$ ，

である．以上の対応関係より(8)式は

$\lim_{ℓ \to \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{π} \{(\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \cos ω_{n} v d v) \cos ω_{n} x + (\int_{- ℓ}^{ℓ} f (v) \sin ω_{n} v d v) \sin ω_{n} x\} Δ ω$

$= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{π} \{(\int_{- \infty}^{\infty} f (v) \cos ω v d v) \cos ω x + (\int_{- \infty}^{\infty} f (v) \sin ω v d v) \sin ω x\} d ω$ 　･･････(10)

と，積分変数 $ω$ の定積分に変換できる．

$\lim_{l \to \infty} f_{l} (x) = f (x)$

$\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \cos ω v d v = G (ω)$

$\frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \sin ω v d v = H (ω)$

とおくと(7)は

$f (x) = \int_{0}^{\infty} \{G (ω) \cos ω x + H (ω) \sin ω x\} d ω$

となる．

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最終更新日： 2023年7月3日