周期2ℓのフーリエ級数の公式

周期${\displaystyle 2\ell }$ の周期関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ は

${\displaystyle a_0=\frac{1}{\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)}xdx}$　 ･･････(1) 　

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)}\cos \frac{n\pi }{\ell }xdx}$　　　　(${\displaystyle n=1,2,3\cdots }$ )　･･････(2)

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)}\sin \frac{n\pi }{\ell }xdx}$ 　　　　 ( ${\displaystyle n=1,2,3\cdots }$ )　･･････(3)

のようり三角関数の級数として表される．この級数のことを関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ級数といい， ${\displaystyle a_0}$ ， ${\displaystyle a_n}$ ， ${\displaystyle b_n}$ のことをフーリエ係数という．

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が不連続となる x などでは ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ級数を表す場合

 のように「＝」を使わず，「〜」を使い

と表すのが一般的である．

■周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ級数から周期${\displaystyle 2\ell }$のフーリエ級数の求め方

周期${\displaystyle 2\pi }$の周期関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ は

${\displaystyle f\left(x\right)=f\left(x+2\pi \right)}$  ･･････(6)

の関係がある．(6)に${\displaystyle x=\frac{\pi }{\ell }t}$ を代入すると

${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)=f\left(\frac{\pi }{\ell }t+2\pi \right)}$  

${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)=f\left(\frac{\pi }{\ell }\left(t+2\ell \right)\right)}$  

となる．

${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)=g\left(t\right)}$  

とおくと，

${\displaystyle g\left(x\right)=g\left(x+2\ell \right)}$  

となり， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ は周期${\displaystyle 2\pi }$の周期関数 になる．

上記の性質を利用して，周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ級数から周期${\displaystyle 2\ell }$のフーリエ級数を求める．

周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ級数の式に ${\displaystyle x=\frac{\pi }{\ell }t}$ と置いて変数を x から t に変換する．

となる．

フーリエ係数は，周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ係数を求める積分を ${\displaystyle x=\frac{\pi }{\ell }t}$ と置いて置換積分をすることによって求める．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{\pi }{\ell }}$より ${\displaystyle dx=\frac{\pi }{\ell }dt}$

よって

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)\frac{\pi }{\ell }dt}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)dt}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }g\left(t\right)dt}}$

${\displaystyle a_n=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)\left(\cos n\frac{\pi }{\ell }t\right)\frac{\pi }{\ell }dt}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)\cos n\frac{n\pi }{\ell }tdt}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }g\left(t\right)\cos n\frac{n\pi }{\ell }tdt}}$  

${\displaystyle b_n=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin nxdx}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)\left(\sin n\frac{\pi }{\ell }t\right)\frac{\pi }{\ell }dt}}$  

${\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(\frac{\pi }{\ell }t\right)\sin n\frac{n\pi }{\ell }tdt}\end{array}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }g\left(t\right)\sin n\frac{n\pi }{\ell }tdt}}$  

となる．変数を x から t に，関数 f を関数 f に書き換えてもフーリエ係数の値は変わらない．

以上より，周期 ${\displaystyle 2\ell }$ のフーリエ級数の式が求まる．

 

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最終更新日： 2023年7月3日