周期2ℓのフーリエ級数の公式

周期${\displaystyle 2l}$ の周期関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ は

${\displaystyle a_n=\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)}\cos \frac{n\pi }{l}xdx}$　　　　(${\displaystyle n=0,1,2\cdots }$ )  ･･････(2)

${\displaystyle b_n=\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)}\sin \frac{n\pi }{l}xdx}$ 　　　　 ( ${\displaystyle n=1,2,3\cdots }$ )  ･･････(3)

のように三角関数の級数として表される．この級数のことを関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ級数といい， ${\displaystyle a_0}$ ， ${\displaystyle a_n}$ ， ${\displaystyle b_n}$ のことをフーリエ係数という．

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が不連続となる $x$ などでは ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ級数を表す場合

 のように「＝」を使わず，「〜」を使い

と表すのが一般的である．

■周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ級数から周期${\displaystyle 2l}$のフーリエ級数の求め方

周期${\displaystyle 2\pi }$の周期関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ は

${\displaystyle f\left(x\right)=f\left(x+2\pi \right)}$   ･･････(6)

の関係がある．(6)に${\displaystyle x=\frac{\pi }{l}t}$ を代入すると

${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{l}t\right)=f\left(\frac{\pi }{l}t+2\pi \right)}$  

${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{l}t\right)=f\left(\frac{\pi }{l}\left(t+2l\right)\right)}$  

となる．

${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{l}t\right)=g\left(t\right)}$  

とおくと，

${\displaystyle g\left(t\right)=g\left(t+2l\right)}$  

となり， ${\displaystyle g\left(t\right)}$ は周期${\displaystyle 2l}$の周期関数 になる．

上記の性質を利用して，周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ級数 から周期${\displaystyle 2l}$のフーリエ級数を求める．

周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ級数の式に ${\displaystyle x=\frac{\pi }{l}t}$ と置いて変数を $x$ から $t$ に変換する．

となる．

フーリエ係数は，周期${\displaystyle 2\pi }$のフーリエ係数を求める積分を ${\displaystyle x=\frac{\pi }{l}t}$ と置いて置換積分をすることによって求める．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{\pi }{l}}$より ${\displaystyle dx=\frac{\pi }{l}dt}$

よって

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(\frac{\pi }{l}t\right)\left(\cos n\frac{\pi }{l}t\right)\frac{\pi }{l}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(\frac{\pi }{l}t\right)\cos n\frac{\pi }{l}tdt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}g\left(t\right)\cos n\frac{\pi }{l}tdt}}$  ･･････(8)

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin nxdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(\frac{\pi }{l}t\right)\left(\sin n\frac{\pi }{l}t\right)\frac{\pi }{l}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(\frac{\pi }{l}t\right)\sin n\frac{\pi }{l}tdt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}g\left(t\right)\sin n\frac{\pi }{l}tdt}}$  ･･････(9)

となる．

(1)〜(3)は(7)〜(9)の変数を $t$ から $x$ に，関数 $g$ を関数 $f$ に書き換ている．

 

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最終更新日： 2026年8月12日