複素フーリエ級数

複素フーリエ級数は，フーリエ級数を複素指数関数を用いて表したもので，

$f (x) \sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x}$

$C_{n} = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{- i \frac{n π}{l} x} d x$

となる．

■導出

フーリエ級数

$f (x) \sim a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos \frac{n π}{l} x + b_{n} \sin \frac{n π}{l} x)$ 　･･････(1)

$a_{0} = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) d x$ 　･･････(1a)

$a_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \cos \frac{n π}{l} x d x$ 　･･････(1b)

$b_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \sin \frac{n π}{l} x d x$ 　･･････(1c)

$(n = 1, 2, \dots)$

をオイラーの公式

$e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ 　･･････(2)

を用いて複素指数関数で表す．(2)より

$e^{- i θ}$ $= \cos (- θ) + i \sin (- θ)$ $= \cos θ - i \sin θ$ 　･･････(3)

が得られる．(2)+(3)より

$e^{i θ} + e^{- i θ} = 2 \cos θ$

$\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}$ 　･･････(4)

(2)-(3)より

$e^{i θ} - e^{- i θ} = 2 i \sin θ$

$\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$ $= \frac{i (e^{i θ} - e^{- i θ})}{2 i^{2}}$ $= - i \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2}$ 　･･････(5)

が得られる．

(4)より

$\cos \frac{n π}{l} x = \frac{e^{i \frac{n π}{l} x} + e^{- i \frac{n π}{l} x}}{2}$ 　･･････(6)

(5)より

$\sin \frac{n π}{l} x = - i \frac{e^{i \frac{n π}{l} x} - e^{- i \frac{n π}{l} x}}{2}$ 　･･････(7)

となる．

(1b)に(6)を代入する．

$a_{n}$ $= \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \frac{e^{i \frac{n π}{l} x} + e^{- i \frac{n π}{l} x}}{2} d x$

$= \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{i \frac{n π}{l} x} d x + \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{- i \frac{n π}{l} x} d x$ 　･･････(8)

(8)の右辺の第2項を

$\frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{- i \frac{n π}{l} x} d x = C_{n}$ 　･･････(9)

とおく．

(8)の右辺の第1項は

$\frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{i \frac{n π}{l} x} d x = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{- i \frac{(- n) π}{l} x} d x$ 　･･････(10)

となり，(9)の $n$ のところが $- n$ になっている．よって第1項は $C_{- n}$ と表すことができる．したがって，

$a_{n} = C_{- n} + C_{n}$ 　･･････(11)

となる．

同様にして(1c)に(7)を代入する．

$b_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) (- i \frac{e^{i \frac{n π}{l} x} - e^{- i \frac{n π}{l} x}}{2}) d x$

$= - i (\frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{i \frac{n π}{l} x} d x - \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{- i \frac{n π}{l} x} d x)$

$= - i (C_{- n} - C_{n})$ 　･･････(12)

となる．

$a_{0} = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) d x = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{- i \frac{0 π}{l} x} d x = C_{0}$ 　･･････(13)

となる．

(1)に(11)，(12)，(13)，(6)，(7)を代入すると

$f (x) \sim C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {(C_{- n} + C_{n}) \frac{e^{i \frac{n π}{l} x} + e^{- i \frac{n π}{l} x}}{2} - i (C_{- n} - C_{n}) (- i \frac{e^{i \frac{n π}{l} x} - e^{- i \frac{n π}{l} x}}{2})}$

$\sim C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2} \{C_{- n} e^{i \frac{n π}{l} x} + C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x} + C_{- n} e^{- i \frac{n π}{l} x} + C_{n} e^{- i \frac{n π}{l} x} - C_{- n} e^{i \frac{n π}{l} x} + C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x} + C_{- n} e^{- i \frac{n π}{l} x} - C_{n} e^{- i \frac{n π}{l} x}\}$

$\sim C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x} + C_{- n} e^{- i \frac{n π}{l} x})$

$\sim C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{- n} e^{- i \frac{n π}{l} x}$

$\sim C_{0} e^{i \frac{0 π}{l} x} + \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x} + \sum_{n = - \infty}^{- 1} C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x}$

$\sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x}$

となる．すなわち

$f (x) \sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i \frac{n π}{l} x}$

$C_{n} = \frac{1}{2 l} \int_{- l}^{l} f (x) e^{- i \frac{n π}{l} x} d x$

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最終更新日： 2026年8月12日