複素フーリエ級数

複素フーリエ級数は，フーリエ級数を複素数にまで拡張したもので

${\displaystyle f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }x}}}$

${\displaystyle a_n=\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)e^{-i\frac{n\pi }{\ell }x}dx}}$

と表される．

■導出

フーリエ級数

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)dx}}$　･･････(1a)

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)\cos \frac{n\pi }{\ell }xdx}}$　･･････(1b)

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)\sin \frac{n\pi }{\ell }xdx}}$　･･････(1c)

${\displaystyle \left(n=1,2,\cdots \right)}$

をオイラーの公式

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$　･･････(2)

より，複素数にまで拡張する．(2)より

${\displaystyle e^{-i\theta }}$${\displaystyle =\cos \left(-\theta \right)+i\sin \left(-\theta \right)}$${\displaystyle =\cos \theta -i\sin \theta }$　･･････(3)

が得られる．(2)+(3)より

${\displaystyle e^{i\theta }+e^{-i\theta }=2\cos \theta }$

${\displaystyle \cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$　･･････(4)

(2)-(3)より

${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }=2i\sin \theta }$

${\displaystyle \sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$${\displaystyle =\frac{i\left(e^{i\theta }-e^{-i\theta }\right)}{2i^2}}$${\displaystyle =-i\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2}}$　･･････(5)

が得られる．

(4)より

${\displaystyle \cos \frac{n\pi }{\ell }x=\frac{e^{i\frac{n\pi }{\ell }x}+e^{-i\frac{n\pi }{\ell }x}}{2}}$　･･････(6)

(5)より

${\displaystyle \sin \frac{n\pi }{\ell }x=-i\frac{e^{i\frac{n\pi }{\ell }x}-e^{-i\frac{n\pi }{\ell }x}}{2}}$　･･････(7)

となる．

(1b)に(6)を代入する．

${\displaystyle a_n}$${\displaystyle =\frac{1}{\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)\frac{e^{i\frac{n\pi }{\ell }x}+e^{-i\frac{n\pi }{\ell }x}}{2}dx}}$

(8)の右辺の第2項を

${\displaystyle \frac{1}{2\ell }{{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)e}}^{-i\frac{n\pi }{\ell }x}dx=c_n}$　･･････(9)

とおく．

(8)の辺の第1項は

となり，(9）の${\displaystyle n}$ のところが${\displaystyle -n}$ になっている．よって(8)式の右辺の第２項は${\displaystyle c_{-n}}$ と表わすことができる．したがって，

${\displaystyle a_n=C_{-n}+C_n}$　･･････(11)

となる．

同様にして(10)に(7)を代入する．

${\displaystyle =-i\left(C_{-n}-C_n\right)}$　･･････(12)

となる．

となる．

(1)に(11)，(12)，(13)，(6)，(7)を代入すると

${\displaystyle \sim C_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(C_n{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }x}+C_{-n}{e}^{-i\frac{n\pi }{\ell }x}\right)}}$

${\displaystyle \sim C_0+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{C}_n{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }x}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{C}_{-n}{e}^{-i\frac{n\pi }{\ell }x})}}}$

${\displaystyle \sim C_0{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }0}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{C}_n{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }x}+{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{C}_n{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }x}}}}$

${\displaystyle \sim {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }x}}}$

となる．すなわち

${\displaystyle f\left(x\right)\sim {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{i\frac{n\pi }{\ell }x}}}$

${\displaystyle C_n=\frac{1}{2\ell }{\displaystyle {\int }_{-\ell }^{\ell }f\left(x\right)e^{-i\frac{n\pi }{\ell }x}dx}}$

 

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最終更新日： 2023年7月3日