漸化式タイプ4：$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$　$\left(p\ne 0,q\ne 0\right)$ の$a_n$の求め方

$\begin{array}{ccc}{a}_{n+2}-\alpha a_{n+1}& =& \beta \left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)\end{array}$ のように$a_{n+1}-\alpha a_n$ が等比数列の形になるようにもっていく．

■もっていき方：

$\begin{array}{ccc}{a}_{n+2}-\alpha a_{n+1}& =& \beta \left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)\end{array}$ を下記のように整理する．

$a_{n+2}=\left(\alpha +\beta \right)a_{n+1}-\alpha \beta a_n$

$a_{n+1}$ ，$a_n$ の係数を比較すると

$\alpha +\beta =p,\alpha \beta =-q$ ･･････(1)

となる．$\alpha$ ，$\beta$ は，$a_{n+2}=x^2$ ，$a_{n+1}=x$ ，$a_n=1$ とおいたときの2次方程式

$x^2=px+q$  →$x^2-px-q=0$ （この方程式を特性方程式という）

の解と同じである．（2次方程式の解と係数の関係を参照）よって，$\alpha$ ，$\beta$を求めることができる．

(1)より$\alpha$ ，$\beta$は対称なので$\alpha$ ，$\beta$を入れ替えることができる． よって，2つの関係式が得られる．

${\displaystyle {a_{n+2}}^{}-\alpha a_{n+1}}$${\displaystyle =\beta \left(a_{n+1}-\alpha a_n\right)}$･･････(2)

${\displaystyle a_{n+2}-\beta a_{n+1}}$${\displaystyle =\alpha \left(a_{n+1}-\beta a_n\right)}$･･････(3)

(2)より

${\displaystyle a_{n+1}-\beta a_n}$${\displaystyle =\alpha \left(a_n-\beta a_{n-1}\right)}$${\displaystyle ={\alpha }^2\left(a_{n-1}-\beta a_{n-2}\right)}$${\displaystyle =\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ={\alpha }^{n-1}\left(a_2-\beta a_1\right)}$･･････(4)

（$a_1$：初項 ， $a_2$ ：第2項）

(3)より

${\displaystyle a_{n+1}-\alpha a_n}$${\displaystyle =\beta \left(a_n-\alpha a_{n-1}\right)}$${\displaystyle ={\beta }^2\left(a_{n-1}-\alpha a_{n-2}\right)=\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ={\beta }^{n-1}\left(a_2-\alpha a_1\right)}$･･････(5)

(4)－(5)より，

${\displaystyle \left(\alpha -\beta \right)a_n}$${\displaystyle =\left({\alpha }^{n-1}-{\beta }^{n-1}\right)a_2{a}_2}$${\displaystyle -\alpha \beta \left({\alpha }^{n-2}-{\beta }^{n-2}\right)a_1}$

$\alpha \ne \beta$ のとき，

$\alpha =\beta$のとき，

$a_{n+1}-\alpha a_n={\alpha }^{n-1}\left(a_2-\alpha a_1\right)$

となり，タイプ3の漸化式となる．$a_n$ の求め方はタイプ3を参照．

 

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最終更新日： 2023年12月14日