演習問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x-2}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x-2}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{5x+1}{x^2-x-12}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{5x+1}{x^2-x-12}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{6x-2}{x^2-3x-10}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{6x-2}{x^2-3x-10}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4x-12}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4x-12}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{3x-9}{{\left(x+3\right)}^2}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{5x+2}{{\left(x-2\right)}^2}}$

次の分数を部分分数に分解しなさい．

${\displaystyle \frac{2x-15}{{\left(x+5\right)}^2}}$

全体集合 $U$ が

${\displaystyle U=\left\{n\right.|1\leqq n\leqq 14}$ ， $n$ は自然数 ${\displaystyle \left.\right\}}$

において，その部分集合 $A$ と $B$ が

${\displaystyle A=\left\{2,4,6,8,10,12,14\right\}}$

${\displaystyle B=\left\{3,6,9,12\right\}}$

のとき， $A\cap B$ ， ${\displaystyle \overline{A}}$ ， ${\displaystyle A\cup \overline{B}}$ を求めよ．

全体集合 $U$ が

${\displaystyle U=\left\{n\right.|1\leqq n\leqq 14}$ ， $n$ は自然数 ${\displaystyle \left.\right\}}$

において，その部分集合 $A$ と $B$ が

${\displaystyle A=\left\{2,4,6,8,10,12,14\right\}}$

${\displaystyle B=\left\{3,6,9,12\right\}}$

のとき， $A\cap B$ ， ${\displaystyle \overline{A}}$ ， ${\displaystyle A\cup \overline{B}}$ を求めよ．

全体集合 $U$ が

${\displaystyle U=\left\{n\right.|1\leqq n\leqq 14}$ ， $n$ は自然数 ${\displaystyle \left.\right\}}$

において，その部分集合 $A$ と $B$ が

${\displaystyle A=\left\{2,4,6,8,10,12,14\right\}}$

${\displaystyle B=\left\{3,6,9,12\right\}}$

のとき， $A\cap B$ ， ${\displaystyle \overline{A}}$ ， ${\displaystyle A\cup \overline{B}}$ を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{n},\cdots }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{1}{n}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{1}{1^2-1},\frac{1}{2^2-1},\frac{1}{3^2-1},\cdots \frac{1}{n^2-1}}$${\displaystyle ,\cdots }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2-1}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n^2-1}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\dots ,\sqrt{n},\dots }$

すなわち第${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\sqrt{n}}$

の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}}$

を求めよ．

${\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{1-1}}{1},\frac{{\left(-1\right)}^{2-1}}{2},\frac{{\left(-1\right)}^{3-1}}{3},\cdot \cdot \cdot ,\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n},\cdot \cdot \cdot }$ の行列，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項 ${\displaystyle a_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ となる行列の極限

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle 1,{\left(\frac{1}{2}\right)}^2,{\left(\frac{1}{3}\right)}^3,\cdot \cdot \cdot ,{\left(\frac{1}{n}\right)}^n,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n={\left(\frac{1}{n}\right)}^n}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{1}{n}\right)}^n}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{5}{2},{\left(\frac{5}{2}\right)}^2,{\left(\frac{5}{2}\right)}^3,\cdot \cdot \cdot ,{\left(\frac{5}{2}\right)}^n,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n={\left(\frac{5}{2}\right)}^n}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{5}{2}\right)}^n}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle 2\left(\frac{3}{7}-8\right),2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2-8\right\}}$${\displaystyle ,2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^3-8\right\},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{5-8}{4-3},\frac{10-8}{8-3},\frac{15-8}{12-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot ,\frac{5n-8}{4n-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{5n-8}{4n-3}}$ となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{5n-8}{4n-3}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{2-6}{1+8},\frac{16-6}{2+8},\frac{54-6}{3+8},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{2n^3-6}{n+8}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

の，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{2n^3-6}{n+8}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{4}{1+3},\frac{8}{4+3},\frac{12}{9+3},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{4n}{n^2+3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

の，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{4n}{n^2+3}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n}{n^2+3}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{2+9}{5-3},\frac{2^2+9}{5^2-3},\frac{2^3+9}{5^3-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot ,\frac{2^n+9}{5^n-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{2^n+9}{5^n-3}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2^n+9}{5^n-3}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7+4}},\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{14+4}},\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{21+4}},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7+4}},\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{14+4}},\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{21+4}},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{1-1}{3+1-1},\frac{1-2^3}{24+2^2-1},\frac{1-3^3}{81+3^2-1},\cdot \cdot \cdot ,\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1},\cdot \cdot \cdot }$

すなわち，第 ${\displaystyle n}$ 項が

${\displaystyle a_n=\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

を求めよ．

数列

${\displaystyle \frac{4+3-1}{2-3},\frac{32+6-1}{8-3},\frac{108+9-1}{18-3},\cdot \cdot \cdot ,\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3},\cdot \cdot \cdot }$

すなわち，第 ${\displaystyle n}$ 項が

${\displaystyle a_n=\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3}}$

を求めよ．