数列の極限

■問題

数列

$\frac{4}{1 + 3}, \frac{8}{4 + 3}, \frac{12}{9 + 3}, \cdot \cdot \cdot$ $, \frac{4 n}{n^{2} + 3}$ $, \cdot \cdot \cdot$

の，すなわち第 $n$ 項

$a_{n} = \frac{4 n}{n^{2} + 3}$

となる数列の極限値

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{4 n}{n^{2} + 3}$

を求めよ．

$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{4 n}{n^{2} + 3} = 0$

$n \to \infty$ とすると， $\frac{\infty}{\infty}$ の形になってしまう．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n}{n^{2} + 3}$ $= lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{n}}{1 + \frac{3}{n^{2}}}$

$n \to \infty$ の時， $\frac{4}{n}, \frac{3}{n^{2}}$ は $0$ になる．

$= 0$

すなわち，与式は $0$ に収束する．

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月16日