無限級数 ∑ n=1 ∞ a n が収束する.⇒ lim n→∞ a n =0
lim n→∞ a n ≠0 ⇒ 無限級数 ∑ n=1 ∞ a n が発散する.(上記の対偶)
lim n→∞ a n =0 は 無限級数 ∑ n=1 ∞ a n が収束するための必要条件であるが,十分条件ではない.
lim n→∞ a n ≠0 は無限級数 ∑ n=1 ∞ a n が発散するための十分条件であが, lim n→∞ a n =0 でも発散する場合がある.
以下に事例をあげる.
a n = 1 n + n+1 を考える.
lim n→∞ a n =0 となるが
a n = 1 n + n + 1
= n − n + 1 ( n + n + 1 ) ( n − n + 1 )
= n − n + 1 n − ( n + 1 )
= n + 1 − n
と変形でき, S n = ∑ k=1 n a k とおくと
S n = ( 1 + 1 − 1 ) + ( 2 + 1 − 2 ) − ⋯ − ( n + 1 − n )
= − 1 + n + 1
となる.よって
∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ S n
= lim n → ∞ ( − 1 + n + 1 )
= ∞
となり, lim n→∞ a n =0 となる場合でも無限級数 ∑ n=1 ∞ a n が収束しない場合がある.
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最終更新日: 2023年7月27日
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