無限級数の収束・発散

無限級数　 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ が収束する．⇒ $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$
$lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ ⇒ 無限級数　 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ が発散する．（上記の対偶）

■解説

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ は無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ が収束するための必要条件であるが，十分条件ではない．

$lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ は無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ が発散するための十分条件であるが， $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ でも発散する場合がある．

以下に事例をあげる．

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$ を考える．

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ となるが

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$

$= \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}}{(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}) (\sqrt{n} - \sqrt{n + 1})}$

$= \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n + 1}}{n - (n + 1)}$

$= \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

と変形でき， $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおくと

$S_{n} = (\sqrt{1 + 1} - \sqrt{1}) + (\sqrt{2 + 1} - \sqrt{2})$ $- \dots - (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$

$= - 1 + \sqrt{n + 1}$

となる．よって

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} S_{n}$

$= lim_{n \to \infty} (- 1 + \sqrt{n + 1})$

$= \infty$

となり， $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ となる場合でも無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ が収束しない場合がある．

最終更新日： 2025年10月23日