数列
1−1 3+1−1 , 1− 2 3 24+ 2 2 −1 , 1− 3 3 81+ 3 2 −1 , ⋅⋅⋅ , 1− n 3 3 n 3 + n 2 −1 , ⋅⋅⋅
すなわち,第 n 項が
a n = 1− n 3 3 n 3 + n 2 −1
となる数列の極限値
lim n→∞ a n = lim n→∞ 1− n 3 3 n 3 + n 2 −1
を求めよ.
lim n→∞ a n = lim n→∞ 1− n 3 3 n 3 + n 2 −1 =− 1 3
n にそのまま ∞ を代入すると, − ∞ ∞ の形になってしまい極限が分からない.
lim n→∞ 1 n =0 , lim n→∞ 1 n 2 =0 , lim n→∞ 1 n 3 =0 を利用する.
したがって,分母の変数の中で最も次数の高いもので割る.
最後に,式全体で収束・発散を判断する.
lim n→∞ 1− n 3 3 n 3 + n 2 −1
分母,分子を n 3 で割る.
= lim n→∞ 1 n 3 −1 3+ 1 n − 1 n 3
n→∞ の時, 1 n と 1 n 3 は 0 になる.
= lim n→∞ −1 3
=− 1 3
すなわち,与式は − 1 3 に収束する.
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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年12月15日
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