概念問題 解答

線形代数　基底と次元

$W$ は原点を通る直線なので，次元は1である．

具体的に検討する．

$W = \{(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})| y + 2 x = 0\} \subset R^{2}$

$y + 2 x = 0$

より

$y = - 2 x$

となる．

$x \in W$

とする．

$x = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ - 2 x \end{matrix}) = x (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$

よって

$W = 〈(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})〉$ 　( $W$ は $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ で張られる部分空間である)

$(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ は1次独立であるので， $W$ の次元は1で， $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ が基底となる．