概念問題 解答

線形代数　基底と次元

問題4の解答

$1. (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ ， $2. (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ ， $3. (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $4. (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

の中で2つとも $W$ の平面に含まれる組み合わせ，言い換えると2つとも $z$ 成分を含まない組み合わせは

$1. (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

である．よって，正解は1である．

具体的に求めてみる．

$W = \{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})| z = 0\} \subset R^{3}$

$x = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}) = x (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + y (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

よって

$W = 〈(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})〉$ 　( $W$ $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ で張られる部分空間である)

$c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

とおく.

$(\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

となり

$c_{1} = c_{2} = 0$

である．

よって

$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ は1次独立であるので， $W$ の次元は2で， $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ が基底となる．

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線形代数 基底と次元

問題4の解答

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線形代数　基底と次元