概念問題 解答

線形代数　基底と次元

$W$ は $z = 0$ の平面と $z = 0$ の平面の交線の $y$ 軸になる． $y$ 軸は直線であるので，次元は1になる．原点を通る直線なので，次元は1である．

具体的に検討する．

$W = \{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})| x = 0, z = 0\} \subset R^{3}$

$x \in W$

とする．

$x = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ y \\ 0 \end{matrix}) = y (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

よって

$x = 〈(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})〉$ 　( $W$ は $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ で張られる部分空間である)

$(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ は1次独立であるので， $W$ の次元は1で， $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ が基底となる．