物体の落下運動と空気抵抗

空気抵抗を無視するので，真空中の運動と考えることができる．真空中で落下する物体にはたらく力は重力のみであり，物体の質量を ${\displaystyle M〔\text{kg}〕}$，運動の加速度を ${\displaystyle a〔{\text{m/s}}^2〕}$，また重力加速度を$$g〔{\text{m/s}}^2〕$$とすると，運動方程式は${\displaystyle Ma=Mg}$ となる．つまり${\displaystyle a=g}$ とできるので，物体が落下する加速度は物体の質量とは無関係である．したがって質量が異なる物体でも同じように落下する．
参考：「真空中における自由落下」実験動画

閉じる

物体は初速度 ${\displaystyle v_0=0\text{m}/\text{s}}$ で落下するので，この運動は自由落下である．
${\displaystyle y=\frac{1}{2}g{t}^2}$ に ${\displaystyle y=1.4}$,${\displaystyle t=0.535}$ を代入すると，

${\displaystyle g=\frac{2y}{t^2}=\frac{2\cdot 1.4}{{0.535}^2}=9.78\fallingdotseq 9.8{\text{m/s}}^2}$

閉じる

羽が落下しているときの，ある時刻${\displaystyle t〔\text{s}〕}$ における瞬間の加速度${\displaystyle a(t)〔{\text{m/s}}^2〕}$ は${\displaystyle \frac{dv}{dt}}$ で表すことができる．また，羽がある速度 ${\displaystyle v〔\text{m/s}〕}$ で落下しているときの，羽にはたらく力は右の図2のようになる． これらより，羽に対する運動方程式は，

${\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv}$

閉じる

十分に長い時間，羽が落下したときの羽の速度は， ${\displaystyle \underset{t\to \infty }{\lim }v(t)}$ である．
${\displaystyle (3)}$ より，運動方程式は ${\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv}$である．
これを変数で分離した形に変形すると，
${\displaystyle \frac{m}{k}\frac{dv}{dt}=\frac{mg}{k}-v}$ つまり， ${\displaystyle \frac{dv}{\frac{mg}{k}-v}=\frac{k}{m}dt}$
両辺を積分すると，(置換積分法を用いた公式1を用いる.←この公式の使い方の例)
${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{dv}{\frac{mg}{k}-v}}={\displaystyle \int \frac{k}{m}}dt}$
${\displaystyle -{\displaystyle \int \frac{{\left(\frac{mg}{k}-v\right)}^{\text{'}}}{\frac{mg}{k}-v}}dv={\displaystyle \int \frac{k}{m}dt}}$
${\displaystyle -\log \left|\frac{mg}{k}-v\right|=\frac{k}{m}t+C}$
${\displaystyle \log \left|\frac{mg}{k}-v\right|=-\frac{k}{m}t-C}$
${\displaystyle \left|\frac{mg}{k}-v\right|=e^{-\frac{k}{m}t-C}}$
${\displaystyle \left|\frac{mg}{k}-v\right|=e^{-\frac{k}{m}t}\cdot e^{-C}}$
${\displaystyle v(t)}$ において， ${\displaystyle v=0}$ のとき ${\displaystyle t=0}$ である．このとき， ${\displaystyle e^0=1}$ より，
${\displaystyle {\text{e}}^{-C}=\frac{mg}{k}}$ となる．
よって， ${\displaystyle v(t)=\frac{mg}{k}(1-{\text{e}}^{-\frac{k}{m}t})}$
これは速度 ${\displaystyle v}$ と時間 ${\displaystyle t}$ の関係式である．
十分に長い間，羽が落下したときの速度 ${\displaystyle \underset{t\to \infty }{\lim }v(t)}$ を求める．
ここで， ${\displaystyle \underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{-\frac{k}{m}t}=\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{e}\right)}^{\frac{k}{m}t}}$ であり，ネイピア数 ${\displaystyle e=2.71\cdot \cdot \cdot }$ より， ${\displaystyle \frac{1}{e}<1}$ であるから，指数関数の概形を考えると， ${\displaystyle \underset{t\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{e}\right)}^{\frac{k}{m}t}=0}$ である．
したがって， ${\displaystyle \underset{t\to \infty }{\lim }v(t)=\frac{mg}{k}(1-0)=\frac{mg}{k}〔\text{m/s}〕}$ である．
${\displaystyle \frac{mg}{k}}$ は定数であるので，羽は一定の速度で落下するといえる．
(詳しい解き方はKIT数学ナビゲーションへ→変数分離形微分方程式)

閉じる

${\displaystyle v(t)=\frac{mg}{k}(1-{\text{e}}^{-\frac{k}{m}t})}$ の式をグラフで表すと右図の赤い曲線のようになる． 空気抵抗がない場合の自由落下は加速度 ${\displaystyle g}$ の等加速度直線運動なので，右図の直線 ${\displaystyle v=gt}$のようになる．図より，落下開始直後の${\displaystyle t=0}$ 付近では自由落下の振る舞いに近い．

閉じる