時計の秒針

角速度は単位時間あたりに回転する角度のことを表している．秒針の周期 ${\displaystyle T=60\text{s}}$ であり，今回は反時計回りの角を正としているため，負の符号をつけるのを忘れないようにすると，角速度は

${\displaystyle \omega =-\frac{2\pi }{T}=-\frac{2\pi }{60}}$ ${\displaystyle =-\frac{\pi }{30}\left[\text{rad/s}\right]}$

と表されることがわかる．

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図のように，点 ${\displaystyle \text{O}}$ を中心とする半径rの円周上を一定の速さ ${\displaystyle v}$ で運動する球を考える．平面の極座標 ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle \theta }$ を用いて表すと，球の位置ベクトルより

${\displaystyle \mathit{r}=\left(x,y\right)=\left(r\cos \theta ,r\sin \theta \right)}$  --- [1]

と表せる．球は一定の速さで回転していることから， ${\displaystyle \theta \left(t\right)}$ を表す角速度 ${\displaystyle \omega }$ は

${\displaystyle \omega =\frac{d\theta }{dt}=}$ 一定  --- [2]

であり，時刻 ${\displaystyle t=0}$ で回転角 ${\displaystyle \theta \left(0\right)={\theta }_0}$ として，式[2] を時間で積分すると，

${\displaystyle \theta \left(t\right)=\omega t+{\theta }_0}$

となる．したがって式[1]の成分は，

${\displaystyle x\left(t\right)=r\cos \left(\omega t+{\theta }_0\right)}$ ,  ${\displaystyle }y\left(t\right)=r\sin \left(\omega t+{\theta }_0\right)$  --- [3]

と表される．今回の場合， ${\displaystyle r=0.20\text{m}}$ , ${\displaystyle \omega =-\frac{\pi }{30}\left[\text{rad/s}\right]}$ であり， ${\displaystyle t=0\text{s}}$ のとき，秒針は12時の方向を指しているので， ${\displaystyle {\theta }_0=\frac{\pi }{2}}$ を式[3]に代入すると，解答を導き出すことができる．

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秒針の先端の速度 ${\displaystyle \mathit{v}=\frac{dx}{dt}=\left(v_x,v_y\right)}$ の各成分は，

${\displaystyle v_x\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=-r\omega \sin \left(\omega t+{\theta }_0\right)}$  --- [4]
${\displaystyle v_y\left(t\right)=\frac{dy}{dt}=r\omega \cos \left(\omega t+{\theta }_0\right)}$  --- [5]

となる．一方，加速度 ${\displaystyle \mathit{a}=\frac{dv}{dt}=\left(a_x,a_y\right)}$ の各成分は，

${\displaystyle a_x\left(t\right)=\frac{d{v}_x}{dt}=-r{\omega }^2\cos \left(\omega t+{\theta }_0\right)}$  --- [6]
${\displaystyle a_y\left(t\right)=\frac{d{v}_y}{dt}=-r{\omega }^2\sin \left(\omega t+{\theta }_0\right)}$  --- [7]

となる．したがって，小問 ${\displaystyle \text{(2)}}$ 同様， ${\displaystyle r=0.20\text{m}}$ , ${\displaystyle \omega =-\frac{\pi }{30}\left[\text{rad/s}\right]}$ , ${\displaystyle {\theta }_0=\frac{\pi }{2}}$ を，式[4], [5], [6], [7]に代入すると，解答を導き出すことができる．

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小問 ${\displaystyle \text{(3)}}$ で導き出した速度の各成分より，大きさを求めると

${\displaystyle v=\sqrt{v_x{}^2+v_y{}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(-r\omega \sin \left(\omega t+{\theta }_0\right)\right)}^2+{\left(r\omega \cos \left(\omega t+{\theta }_0\right)\right)}^2}}$

であり，ここで， ${\displaystyle \theta =\omega t+{\theta }_0}$ とおくと，

${\displaystyle v=\sqrt{{\left(-r\omega \sin \theta \right)}^2+{\left(r\omega \cos \theta \right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{r^2{\omega }^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )}}$ ${\displaystyle =r\left|\omega \right|}$

となる．半径 ${\displaystyle r=0.20}$ ，角速度 ${\displaystyle \omega =-\frac{\pi }{30}}$ を代入すると，答えを求めることができる．

一方，加速度の大きさについては，上と同様に小問 ${\displaystyle \text{(3)}}$ で導き出した加速度の各成分より大きさを求めると，

${\displaystyle a=\sqrt{a_x{}^2+a_y{}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(-r{\omega }^2\cos \left(\omega t+{\theta }_0\right)\right)}^2+{\left(-r{\omega }^2\sin \left(\omega t+{\theta }_0\right)\right)}^2}}$

であり，ここで，速さの場合と同様に ${\displaystyle \theta =\omega t+{\theta }_0}$ とおくと，

${\displaystyle a=\sqrt{{\left(-r{\omega }^2\cos \theta \right)}^2+{\left(-r{\omega }^2\sin \theta \right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{r^2{\omega }^4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}}$ ${\displaystyle =r{\omega }^2}$

となる．半径 ${\displaystyle r=0.20}$ ，角速度 ${\displaystyle \omega =-\frac{\pi }{30}}$ を代入すると，答えを求めることができる．

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おもりに作用する力を求めることから，小問 ${\displaystyle \text{(3)}}$ で求めた加速度と質量 ${\displaystyle 10\text{g}}$ （ ${\displaystyle 10\text{g}}$ を ${\displaystyle \text{kg}}$ になおすと， ${\displaystyle 0.010\text{kg}}$ になる）を用いると，運動方程式より

${\displaystyle \mathit{F}=m\mathit{a}}$ ${\displaystyle =\left(0.010\times \left(-0.20{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2\sin \frac{\pi }{30}t\right),0.010\times \left(-0.20\left(\frac{\pi }{30}\right)2\cos \frac{\pi }{30}t\right)\right)}$
${\displaystyle =\left(-0.0020{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2\sin \frac{\pi }{30}t,-0.0020{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2\cos \frac{\pi }{30}t\right)}$
${\displaystyle =\left(-2.0\times {10}^{-3}{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2\sin \frac{\pi }{30}t,-2.0\times {10}^{-3}{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2\cos \frac{\pi }{30}t\right)}$

と求めことができる．力の大きさは，

${\displaystyle F=\left|\mathit{F}\right|}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(-2.0\times {10}^{-3}{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2\sin \frac{\pi }{30}t\right)}^2+{\left(-2.0\times {10}^{-3}{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2\cos \frac{\pi }{30}t\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{4.0\times {10}^{-6}{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^4({\sin }^2\left(\frac{\pi }{30}t\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{30}t\right))}}$ ${\displaystyle =2.0\times {10}^{-3}{\left(\frac{\pi }{30}\right)}^2}$

と求めることができる．

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