時計の秒針

角速度は単位時間あたりに回転する角度のことを表している．秒針の周期 T=60 s であり，今回は反時計回りの角を正としているため，負の符号をつけるのを忘れないようにすると，角速度は

ω=− 2π T =− 2π 60 =− π 30   [ rad/s ]

と表されることがわかる．

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図のように，点 O を中心とする半径rの円周上を一定の速さ v で運動する球を考える．平面の極座標 r , θ を用いて表すと，球の位置ベクトルより

r=( x,y )=( rcosθ,rsinθ )  --- [1]

と表せる．球は一定の速さで回転していることから， θ(t) を表す角速度 ω は

ω= dθ dt = 一定  --- [2]

であり，時刻 t=0 で回転角 θ( 0 )= θ 0 として，式[2] を時間で積分すると，

θ( t )=ωt+ θ 0

となる．したがって式[1]の成分は，

x( t )=rcos( ωt+ θ 0 ) ,  y( t )=rsin( ωt+ θ 0 )  --- [3]

と表される．今回の場合， r=0.20 m , ω=− π 30   [ rad/s ] であり， t=0 s のとき，秒針は12時の方向を指しているので， θ 0 = π 2 を式[3]に代入すると，解答を導き出すことができる．

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秒針の先端の速度 v= dx dt =( v x , v y ) の各成分は，

v x ( t )= dx dt =−rωsin( ωt+ θ 0 )  --- [4]
v y ( t )= dy dt =rωcos( ωt+ θ 0 )  --- [5]

となる．一方，加速度 a= dv dt =( a x , a y ) の各成分は，

a x ( t )= d v x dt =−r ω 2 cos( ωt+ θ 0 )  --- [6]
a y ( t )= d v y dt =−r ω 2 sin( ωt+ θ 0 )  --- [7]

となる．したがって，小問 ${\displaystyle \text{(2)}}$ 同様， r=0.20 m , ω=− π 30   [ rad/s ] , θ 0 = π 2 を，式[4], [5], [6], [7]に代入すると，解答を導き出すことができる．

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小問 ${\displaystyle \text{(3)}}$ で導き出した速度の各成分より，大きさを求めると

v= v x 2 + v y 2 = ( −rωsin( ωt+ θ 0 ) ) 2 + ( rωcos( ωt+ θ 0 ) ) 2

であり，ここで， θ=ωt+ θ 0 とおくと，

v= ( −rωsinθ ) 2 + ( rωcosθ ) 2 = r 2 ω 2 ( sin 2 θ+ cos 2 θ) =r| ω |

となる．半径 r=0.20 ，角速度 ω=− π 30 を代入すると，答えを求めることができる．

一方，加速度の大きさについては，上と同様に小問 (3) で導き出した加速度の各成分より大きさを求めると，

a= a x 2 + a y 2 = ( −r ω 2 cos( ωt+ θ 0 ) ) 2 + ( −r ω 2 sin( ωt+ θ 0 ) ) 2

であり，ここで，速さの場合と同様に θ=ωt+ θ 0 とおくと，

a= ( −r ω 2 cosθ ) 2 + ( −r ω 2 sinθ ) 2 = r 2 ω 4 ( cos2θ + sin2θ ) =r ω 2

となる．半径 r=0.20 ，角速度 ω=− π 30 を代入すると，答えを求めることができる．

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おもりに作用する力を求めることから，小問 (3) で求めた加速度と質量 10 g （ 10 g を kg になおすと， 0.010 kg になる）を用いると，運動方程式より

F=ma =( 0.010×( −0.20 ( π 30 ) 2 sin π 30 t ), 0.010×( −0.20( π 30 )2cos π 30 t ) )
=( −0.0020 ( π 30 ) 2 sin π 30 t, −0.0020 ( π 30 ) 2 cos π 30 t )
=( −2.0× 10 −3 ( π 30 ) 2 sin π 30 t, −2.0× 10 −3 ( π 30 ) 2 cos π 30 t )

と求めことができる．力の大きさは，

F=| F | = ( −2.0× 10 −3 ( π 30 ) 2 sin π 30 t ) 2 + ( −2.0× 10 −3 ( π 30 ) 2 cos π 30 t ) 2 = 4.0× 10 −6 ( π 30 ) 4 ( sin2 π 30 t + cos2 π 30 t ) =2.0× 10 −3 ( π 30 ) 2

と求めることができる．

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