等速円運動 (uniform circular motion)
物体が円周上を一定の速さで運動しているとき,その運動を 等速円運動 (uniform circular motion) という.
図のように,点 O を中心とする半径
r
の円周上を一定の速さ
v
で運動する質点の位置を点 P とする.円運動の回転面を
xy
平面にとり,平面の極座標(円座標)
r
,
θ
を用いると点 P の位置ベクトルは
r
=
(
x
,
y
)
=
(
rcosθ
,
rsinθ
)
- - - (1)
と表せる.
θ
は
+x
軸を基準の方向として測ったベクトル
r
の角度であり,点 P が円周上を回転しているので時間とともに変化する回転角を表す.
質点は一定の速さで回転していることから,回転角
θ(t)
の時間変化率(単位時間当たりの回転角)を表す角速度 (angular velocity)
ω
は
ω=
dθ
dt
=
const.
(一定)
- - - (2)
であり,時刻
t=0
で回転角
θ(0)
=
θ0
とすると,式(2)を時間で積分することにより
θ(t)
=
ωt+
θ0
- - - (3)
を得る.したがって,式(1)の各成分は
x(t)
=
rcos(
ωt+
θ0
)
,
y(t)
=
rsin(
ωt+
θ0
)
- - - (4)
と表される.三角関数の角度部分
ωt+
θ0
を 位相 (phase) といい,時刻
t=0
での位相
θ0
を 初期位相 (initial phase) という.
(注1)
通常,回転方向は反時計回りのみを考えて
ω>0
であるが,時計回りの回転も考慮すると
ω<0
の場合もありえる.
(注2)
角速度を回転軸方向を向いたベクトル
ω
とする考え方もある(角速度ベクトル).この場合,ベクトル
ω
の向きを進行方向とする右ネジの回る向きが,回転の向きに一致する.つまり,ベクトル
ω
の先から回転面を見ると,必ず反時計回りの回転運動となる.
ω
の向きを
z
軸の正の向きとして,
xy
平面を等速円運動する点の位置を表すと,
x(t)
=
rcos(
|ω|
t+
θ0
)
,
y(t)
=
rsin(
|ω|
t+
θ0
)
となる.
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