水平ばね振り子

ばねの自然長からの変化量を x [ m ] ，ばね定数を k [ N/m ] とすると，フックの法則により，ばねにかかる弾性力は −kx [ N ] である．（参考：水平ばね振り子）
よって，物体の運動方程式は 0.10 d 2 x d t 2 =−0.40x となる．

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運動方程式を整理すると

d 2 x d t 2 =− k m x=− 0.40 0.10 x=−4.0x   ⇒   d 2 x d t 2 +4.0x =0

となり，定数係数の2階同次線形微分方程式が得られる．
上式の特性方程式  λ 2 +4.0=0  ⇒  λ 2 =−4.0   の解は   λ=±2.0i である．
特性方程式の解が虚数になるので，一般解は

x( t )= C 1 sin2.0t+ C 2 cos2.0t

となる．
この解を時刻 t で微分すると，速度

vx(t) = dx dt = 2.0 C 1 cos2.0t−2.0 C 2 sin2.0t

を得る．ばねを x 軸の正の向きに x=0.10 m まで伸ばして放すという初期条件より，

x( 0 )= C 1 sin0+ C 2 cos0= C 2 =0.10

となり，ばねを静かに放す（初速ゼロ）という初期条件より，

vx( 0 )=2 C 1 cos0−2 C 2 sin0=2 C 1 =0   ⇒   C 1 =0

となる．よって，初期条件を満たす解は

x( t )=0.10cos2.0t

と求まる．

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物体が ${\displaystyle x(t)=A\cos (\omega t+\alpha )}$で与えられる運動（単振動）をするとき， A( >0 ) は振幅にあたる． ( 2 ) より，物体は x( t )=0.10cos2.0t で単振動する．よって振幅は 0.10 m

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T= 2π w = 2π 2 =π=3.1 s
もしくは， T=2π m k =2π 0.10 0.40 = 2π2.0 =3.1 s

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(2) で求めた解 x(t) =0.10cos2.0t より，速度 vx(t) = dx dt =−0.20sin2.0t である．自然長（ x=0 ）のとき， cos2.0t=0 なので， sin2.0t=±1 である．よって，自然長になったときの物体の速さは

v= −0.20sin2.0t = −0.20× (±1) =0.20 m/s

と求まる．

別の求め方として，力学的エネルギー保存則を用いる方法がある．振幅を A ，自然長のときの物体の速さを v とすると，力学的エネルギー保存則 1 2 k A 2 = 1 2 m v 2 より，

v=A k m =0.10 k m =0.10 0.40 0.10 =0.10⋅2.0 =0.20 m/s

と求まる．

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