相対速度（合成速度）

図のように，船が川を渡ろうとしている．川の水は地球に対して，北から南の向きへ，速さ $v [m/s]$ で流れている．船は川の水流に対して，西から東の向きへ，速さ $v [m/s]$ で進む．川岸で静止している観測者から見たとき，船の速さを求めよ．

解答

$\sqrt{2} v [m/s]$

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解説

川岸で静止している観測者(observer)は地球と共に動くので，
  ・川岸で静止している観測者(observer)から見た船(boat)の相対速度： $\vec{v_{bo}}$
  ・水流(flow)，川の水と同じように流れている人から見た船の相対速度: $\vec{v_{bf}}$
  ・川岸で静止している観測者から見た水流の相対速度： $\vec{v_{fo}}$
と定義すると，速度のガリレイ変換より，

$\vec{v_{bo}} = \vec{v_{bf}} + \vec{v_{fo}}$

が成り立つ．

ここで，

\vec{v_{bf}}

に当たるのは西から東の向きの速さ

v [m/s]

の速度ベクトルで，

\vec{v_{fo}}

に当たるのは北から南の向きの速さ

v [m/s]

の速度ベクトルである．したがって，

\vec{v_{bo}}

は図のようにベクトルの和から求めることができる．

\vec{v_{bo}}

の大きさは三平方の定理より，

$\begin{array}{l} | \vec{v_{bo}} | = \sqrt{{| \vec{v_{bf}} |}^{2} + {| \vec{v_{fo}} |}^{2}} = \sqrt{v^{2} + v^{2}} \\ = \sqrt{2 v^{2}} \\ = \sqrt{2} v [m/s] \end{array}$

と求まる．

直感的には，川岸で静止している観測者から船を見ると，船は水に流されて北から南へ速さ

v

で移動しながら，さらに，西から東に移動しているように見える．

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学生スタッフ作成

2021年4月16日