平均速度・速度，平均加速度・加速度
ある小球が
x
軸上を運動している.任意の時刻
t[ s ]
の小球の位置を
x[ m ]
とすると，
x(
t
)=2
t
2
−2[ m ]
と表される場合について，以下の問いに答えよ．
(1)
時刻
1 s
から時刻
2 s
の間の平均速度
v
¯
を求めよ．
解答
解説
平均速度
v
¯
は，位置
x
の変化量
Δx
を時間
t
の変化量
Δt
で割ることで求めることができる．時刻
1 s
から時刻
2 s
の場合は，
Δ x=x(
2
)−x(
1
), Δt=2−1
だから，
v
¯
=
Δx
Δt
=
x(
2
)−x(
1
)
2−1
となる．
また，
x(
t
)=2
t
2
−2
であるから，
x(
2
)=2⋅
2
2
−2, x(
1
)=2⋅
1
2
−2
なので，
v
¯
=
(
2⋅
2
2
−2
)−(
2⋅
1
2
−2
)
2−1
=
(
8−2
)−(
2−2
)
1
=
6−0
1
=6 m/s
となる．
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(2)
時刻
2 s
の小球の速度
v(
2
)
を求めよ．
解答
解説
時刻
t[ s ]
における速度
v(
t
)
は位置
x(
t
)
の導関数として求めることができる．したがって，時刻
t[ s ]
における速度の式を求めるためには位置
x(
t
)
の式を時刻
t[ s ]
について微分すればよい．
位置
x[ m ]
の式より，
x(
t
)=2
t
2
−2
v(
t
)=
x
′
(
t
)=
dx
dt
=2⋅2
t
2−1
−0=4t
時刻
2 s
のときの速度は，
t=2 s
を代入すると求めることができ，
v(
2
)=4⋅2=8 m/s
となる．
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(3)
時刻
1 s
から時刻
2 s
の間の平均加速度
a
¯
を求めよ．
解答
解説
平均加速度は，速度
v
の変化量
Δv
を時間
t
の変化量
Δt
で割ることで求めることができる．
Δ v=v(
2
)−v(
1
), Δt=2−1
だから，
a
¯
=
Δv
Δt
=
v(
2
)−v(
1
)
2−1
となる．
また，
v(
t
)=4t
であるから，
v(
2
)=4⋅2, v(
1
)=4⋅1
より，
a
¯
=
4⋅2−4⋅1
2−1
=
8−4
1
=4
m/s
2
となる．
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(4)
時刻
3 s
の小球の加速度
a(
3
)
を求めよ．
解答
解説
任意の時刻
t
における加速度
a
は，速度の導関数として求めることができる．
したがって，(1)より
a(
t
)=
dv
dt
=
v
′
(
t
)=
(
4t
)
′
=4
m/s
2
よって，加速度は時刻に依存せずに一定なので，時刻
3 s
のときも変わらず，
a(
3
)=4
m/s
2
となる．
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