速度 (velocity)

○ 平均の速度

直線上（ ${\displaystyle x}$ 軸上）を運動する物体の，時刻 ${\displaystyle t_1〔\text{s}〕}$ での位置を ${\displaystyle x_1〔\text{m}〕}$ ，時刻 ${\displaystyle t_2〔\text{s}〕}$ での位置を ${\displaystyle x_2〔\text{m}〕}$ とすると，この間の位置の平均変化率を平均の速度といい，

${\displaystyle \overline{v}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}}$

${\displaystyle \Delta x=x_2-x_1}$ ， ${\displaystyle \Delta t=t_2-t_1}$

で表される．つまり，変位 ${\displaystyle \Delta x}$ を時間 ${\displaystyle \Delta t}$ で割った量である．平均の速度 ${\displaystyle \overline{v}〔\text{m}/\text{s}〕}$ は右図の点Pと点Qを結ぶ直線の傾きを表す．

○ 速度（瞬間の速度）

上の平均の速度の式において， ${\displaystyle t_2}$ を ${\displaystyle t_1}$ に限りなく近づける，つまり ${\displaystyle \Delta t}$ を限りなくゼロに近づけると， ${\displaystyle \overline{v}〔\text{m}/\text{s}〕}$ は時刻 ${\displaystyle t_1〔\text{s}〕}$ における速度(瞬間の速度)

${\displaystyle v(t_1)=\underset{t_2\to t_1}{\lim }\overline{v}=\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta t}}$

となる．つまり，位置 ${\displaystyle x(t)〔\text{m}〕}$ の時刻 ${\displaystyle t=t_1〔\text{s}〕}$ における微分係数に対応し，時刻 ${\displaystyle t_1〔\text{s}〕}$ における瞬間の速度 ${\displaystyle v(t_1)〔\text{m}/\text{s}〕}$ は右図の点Pにおける接線の傾きを表す．

したがって，任意の時刻 ${\displaystyle t〔\text{s}〕}$ における速度は，位置 ${\displaystyle x(t)〔\text{m}〕}$ の導関数として

${\displaystyle v(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}}$

で与えられる．

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学生スタッフ作成

2025年9月18日