吊るされた棒

長さ $L$ $L$ の一様な棒（質量 $M$ $M$ ）を図のように軽い糸で棒の端から $x$ $x$ のところで吊り下げた．棒の重力を $W$ $W$ ，棒の傾き角を $θ$ $θ$ ，重力加速度の大きさを $g$ $g$ とする．糸の張力 $S$ $S$ および床が棒に及ぼす抗力 $R$ $R$ の大きさを求めよ．

（ヒント：力のつり合いおよび棒の下端まわりの力のモーメントのつり合い条件を考えよ．）

解答

$S = \frac{L}{2 x} M g$ $S = \frac{L}{2 x} M g$ , $R = (1 - \frac{L}{2 x}) M g$ $R = (1 - \frac{L}{2 x}) M g$

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解説

$W$ $W$ ， $S$ $S$ ， $R$ $R$ の大きさをそれぞれ $W (= M g)$ $W (= M g)$ ， $S$ $S$ ， $R$ $R$ とする．重力は一様な棒の中心にはたらくとみなせる．棒の下端と力の作用点を通る直線と重力および張力とのなす角を右図に示す．よって，棒の下端まわりの力のモーメントのつり合いの条件は，

$- \frac{L}{2} W \sin (90 ° + θ) + x S \sin (90 ° - θ)$ $- \frac{L}{2} W \sin (90 ° + θ) + x S \sin (90 ° - θ)$ $= - \frac{L}{2} W \cos θ + x S \cos θ = 0$ $= - \frac{L}{2} W \cos θ + x S \cos θ = 0$

となるので，

$S = \frac{L}{2 x} W = \frac{L}{2 x} M g$ $S = \frac{L}{2 x} W = \frac{L}{2 x} M g$

を得る（ここで，三角関数の関係式の2.および3.を用いた）．鉛直方向の力のつり合いの条件は，

$R + S - W = 0$ $R + S - W = 0$

であり，したがって，

$R = W - S = W - \frac{L}{2 x} W = (1 - \frac{L}{2 x}) M g$ $R = W - S = W - \frac{L}{2 x} W = (1 - \frac{L}{2 x}) M g$

となる．

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学生スタッフ作成

2020年9月16日

吊るされた棒

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