円板の慣性モーメント1

薄い円板の面密度を ${\displaystyle \sigma }$ とすると，円板の面積は ${\displaystyle S=\pi R^2}$ なので

${\displaystyle \sigma =\frac{M}{\pi R^2}}$

である．図のように，この円板を半径方向（ ${\displaystyle r}$ 方向）に微小幅 ${\displaystyle dr}$ の円環に分割する．半径 ${\displaystyle r}$ の円環の円周は ${\displaystyle 2\pi r}$ であり，微小幅 ${\displaystyle dr}$ の円環の面積は ${\displaystyle dS=2\pi r\cdot dr}$ と表せるので，この円環の微小質量が

${\displaystyle dm=\sigma \cdot dS}$ ${\displaystyle =\frac{M}{\pi R^2}\cdot 2\pi r\cdot dr}$
${\displaystyle \phantom{dm}=\frac{2M}{R^2}rdr}$

となる．この円環部分の回転半径は ${\displaystyle r}$ であるので，回転軸周りの微小慣性モーメントは

${\displaystyle dI=r^{2}dm}$ ${\displaystyle =r^2\cdot \frac{2M}{R^2}rdr}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{R^2}{r}^{3}dr}$

と表せる．したがって，求める慣性モーメントは

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_{D}dI}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^R\frac{2M}{R^2}{r}^{3}dr}}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{R^2}{\left[\frac{1}{4}{r}^4\right]}_0^R}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{R^2}\cdot \frac{1}{4}{R}^4}$ ${\displaystyle =\frac{M{R}^2}{2}}$

となる．

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