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慣性モーメント (moment of inertia)

右上図に示すような ${\displaystyle n}$ 個の質点から成る質点系を考え，この質点系が ${\displaystyle z}$ 軸のまわりにすべて同じ角速度 ${\displaystyle \omega }$ で回転しているとする．このとき，各質点の質量 ${\displaystyle m_i}$ と ${\displaystyle z}$ 軸からの距離 ${\displaystyle r_i}$ （回転半径）を用いて表される次の量

${\displaystyle I={\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2}}$     ---- (1)

を，この質点系の ${\displaystyle z}$ 軸まわりの慣性モーメントという．慣性モーメント ${\displaystyle I}$ を用いると質点系の回転運動の方程式は

${\displaystyle I\frac{d\omega }{dt}=N}$     ---- (2)

と表すことができる．ここで， ${\displaystyle N}$ は質点に作用する ${\displaystyle z}$ 軸まわりの力のモーメントの和である．したがって，慣性モーメントは，物体が回転運動する際，その回転速度（角速度）の変化を妨げる役割を果たし，物体の回転させにくさを表す量といえる（より正確には物体の回転状態の変化のさせにくさを表す量）．
※ 慣性モーメントの値は，回転軸の取り方によって変わることに注意．

物体の並進運動と回転運動との対応関係を考えると，回転運動における慣性モーメント ${\displaystyle I}$ の役割は，並進運動において質量が果たす役割に対応している．

質点系が大きさをもつ連続体である剛体の場合， 剛体を多数の微小部分に細分化し，各微小部分の質量 ${\displaystyle \Delta m_i}$ と回転半径 ${\displaystyle r_i}$ を式(1)に当てはめて，極限 ${\displaystyle \Delta m_i\to 0}$ をとると，回転軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I=\underset{\Delta m_i\to 0}{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n{r}_i^2\Delta m_i}={\displaystyle {\int }_M{r}^{2}dm}}$   ---- (3)

のように剛体の全質量 ${\displaystyle M}$ にわたる積分として表される．剛体の密度を ${\displaystyle \rho (\mathit{r})}$ とすると，微小質量 ${\displaystyle dm}$ は微小体積 ${\displaystyle dV}$ を用いて ${\displaystyle dm=\rho (\mathit{r})dV}$ と書けるので，式(3)は

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_V\rho (\mathit{r})r^{2}dV}}$

と表せる．ここで，剛体の密度が一様であれば（全体積 ${\displaystyle V}$ にわたって一定の値をもつ，つまり ${\displaystyle \rho (\mathit{r})=\rho =}$定数 ），

${\displaystyle I=\rho {\displaystyle {\int }_V{r}^{2}dV}}$

と書ける．

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