直方体の慣性モーメント

直方体の体積は ${\displaystyle V=abc}$ であるので，密度 ${\displaystyle \rho }$ は

${\displaystyle \rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{abc}}$

である． 図のような微小部分を考えると，微小部分の体積は ${\displaystyle dV=dxdydz}$ なので，微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ は

${\displaystyle dm=\rho dV=\frac{M}{abc}dxdydz}$

と表される．微小部分の回転半径は ${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$ である．積分範囲は， ${\displaystyle 0\le x\le a}$ ， ${\displaystyle 0\le y\le b}$ ， ${\displaystyle 0\le z\le c}$ である．よって， ${\displaystyle z}$ 軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_M{r}^{2}dm}={\displaystyle {\int }_V\left(x^2+y^2\right)\times \frac{M}{abc}dxdydz}}$

${\displaystyle =\frac{M}{abc}{\displaystyle {\int }_0^c\left\{{\displaystyle {\int }_0^b\left({\displaystyle {\int }_0^a\left(x^2+y^2\right)dx}\right)dy}\right\}}dz=\frac{M}{abc}{\displaystyle {\int }_0^c\left({\displaystyle {\int }_0^b{\left[\frac{1}{3}{x}^3+x{y}^2\right]}_0^{a}dy}\right)}dz}$

${\displaystyle =\frac{M}{abc}{\displaystyle {\int }_0^c\left({\displaystyle {\int }_0^b{\left[\frac{1}{3}{a}^3+a{y}^2\right]}_0^{a}dy}\right)}dz=\frac{M}{abc}{\displaystyle {\int }_0^c{\left[\frac{1}{3}{a}^{3}y+\frac{1}{3}a{y}^3\right]}_0^b}dz}$

${\displaystyle =\frac{M}{abc}{\displaystyle {\int }_0^c{\left[\frac{1}{3}{a}^{3}b+\frac{1}{3}a{b}^3\right]}_0^b}dz=\frac{M}{abc}{\left[\frac{1}{3}{a}^{3}bz+\frac{1}{3}a{b}^{3}z\right]}_0^c}$

${\displaystyle =\frac{M}{abc}{\left[\frac{1}{3}{a}^{3}bc+\frac{1}{3}a{b}^{3}c\right]}_0^c=\frac{M}{3}\left(a^2+b^2\right)}$

となる．

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