円環の慣性モーメント2

図に示すような，質量 $M$ ，半径 $R$ の密度が一様な薄い円環について，質量中心を通る回転軸のまわりの慣性モーメント $I$ を求めよ．

解答

$I = \frac{1}{4} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$

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解説1

薄い円環の面密度を

σ

とすると，円環の面積は

S = π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})

なので

$σ = \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}$

である．図に示すように，平面の極座標を用いて，この円環を半径方向（ $r$ 方向）と角度方向（ $θ$ 方向）で微小部分に分割すると，この微小部分の面積は

$d S = d r \cdot r d θ$ $= r d r d θ$

と表せるので，この部分の微小質量が

$d m = σ \cdot d S$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} \cdot r d r d θ$

となる．この微小部分の回転半径は $r \cos θ$ であるので，回転軸周りの微小慣性モーメントは

$d I = {(r \cos θ)}^{2} \cdot d m$ $= {(r \cos θ)}^{2} \cdot \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} \cdot r d r d θ$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} r^{3} \cos^{2} θ d r d θ$

と表せる．したがって，求める慣性モーメントは

$I = \int_{D} d I$ $= \int_{R_{1}}^{R_{2}} \int_{0}^{2 π} \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} r^{3} \cos^{2} θ d r d θ$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{3} d r \int_{0}^{2 π} \cos^{2} θ d θ$

となる．各々の積分は

$\int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{3} d r = {[\frac{1}{4} r^{4}]}_{R_{1}}^{R_{2}}$ $= \frac{1}{4} (R_{2}^{4} - R_{1}^{4})$
$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} θ d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos 2 θ}{2} d θ$ $= {[\frac{θ}{2} + \frac{\sin 2 θ}{4}]}_{0}^{2 π} = π$

なので，慣性モーメントは

$I = \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} \cdot \frac{1}{4} (R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) \cdot π$ $= \frac{1}{4} M (R_{2}^{2} + R_{1}^{2})$

と求まる．もし，円環の幅が無視できるほど小さければ（ $R_{1} \approx R_{2}$ ），慣性モーメント $I$ は

$I = \lim_{R_{1} \to R_{2}} \frac{1}{4} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$ $= \frac{1}{4} M \cdot 2 R_{2}^{2}$ $= \frac{1}{2} M R_{2}^{2}$

となる．

解説2

薄い円環の面密度を

σ

とすると，円環の面積は

S = π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})

なので

$σ = \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}$

である．この面密度をもつ半径 $R_{1}$ の薄い円板1と半径 $R_{2}$ の薄い円板2を考える．これらの円板1と円板2の質量はそれぞれ，

$M_{1} = σ \cdot π R_{1}^{2} = \frac{M R_{1}^{2}}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}}$
$M_{2} = σ \cdot π R_{2}^{2} = \frac{M R_{2}^{2}}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}}$

である．円板の慣性モーメントより，これらの円板の回転軸周りの慣性モーメントは，それぞれ， $I_{1} = \frac{1}{4} M_{1} R_{1}^{2}$ ， $I_{2} = \frac{1}{4} M_{2} R_{2}^{2}$ であるので，求めたい円環の慣性モーメントは

$I = I_{2} - I_{1} = \frac{1}{4} M_{2} R_{2}^{2} - \frac{1}{4} M_{1} R_{1}^{2}$ $= \frac{1}{4} \cdot \frac{M R_{2}^{2}}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} \cdot R_{2}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{M R_{1}^{2}}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} \cdot R_{1}^{2}$
$= \frac{M (R_{2}^{4} - R_{1}^{4})}{4 (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}$ $= \frac{1}{4} M (R_{2}^{2} + R_{1}^{2})$

と求まる．

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最終更新日：2025年9月16日