剛体振り子

線密度は ${\displaystyle \frac{M}{a}}$ であり，支点 ${\displaystyle \text{O}}$ から ${\displaystyle x}$ の位置の微小質量 ${\displaystyle dm}$ は，${\displaystyle dm=\frac{M}{a}dx}$ である．支点 ${\displaystyle \text{O}}$ の周りの慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は，${\displaystyle dI=x^{2}dm=x^2\frac{M}{a}dx}$
したがって慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は，
${\displaystyle I={{\displaystyle \int }}_{D}dI={{\displaystyle \int }}_0^a{x}^2\frac{M}{a}dx=\frac{M}{a}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^a=\frac{M{a}^2}{3}\left[\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\right]}$ となる．⇒ 詳細な説明

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この剛体棒の質量中心を${\displaystyle \text{G}}$ とし，支点${\displaystyle \text{O}}$ を通る鉛直線と，直線${\displaystyle \text{OG}}$ となす角を${\displaystyle \theta }$ とする．
このとき，この剛体棒の運動方程式は，${\displaystyle \theta \approx 0}$ のとき，${\displaystyle I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{a}{2}Mg\sin \theta \simeq -\frac{a}{2}Mg\theta }$ と表せる．
この棒の角振動数${\displaystyle \omega }$ を用いて，${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{aMg}{2I}\theta =-{\omega }^2\theta }$ と表せるので，${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{aMg}{2I}}}$
したがって， ${\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{2I}{aMg}}=2\pi \sqrt{\frac{2\cdot \frac{M{a}^2}{3}}{aMg}}=2\pi \sqrt{\frac{2a}{3g}}\left[s\right]}$

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