半球の縁に立てかけられた棒

棒の下端と半球との接点を点 ${\displaystyle \text{A}}$ ，もう一か所の棒と半球との接点を点 ${\displaystyle \text{B}}$ とする．また，棒が受ける重力を ${\displaystyle W}$ ，点 ${\displaystyle \text{A}}$ で棒が半球から受ける垂直抗力を ${\displaystyle R_1}$ ，点 ${\displaystyle \text{B}}$ で棒が半球から受ける垂直抗力を ${\displaystyle R_2}$ とする．

点 ${\displaystyle \text{A}}$ から点 ${\displaystyle \text{B}}$ までの距離は ${\displaystyle 2r\cos 30\text{°}=\sqrt{3}r}$ である．
点 ${\displaystyle \text{A}}$ まわりの力のモーメント のつり合いの条件は，

${\displaystyle \frac{l}{2}W\sin 60\text{°}=\sqrt{3}r{R}_2}$

より，

${\displaystyle l=\frac{4R_2}{W}r}$

力のつり合いの条件は，

水平方向： ${\displaystyle R_1\cos 60\text{°=}{R}_2\cos 60\text{°}}$ より， ${\displaystyle R_1\text{=}{R}_2}$

鉛直方向： ${\displaystyle R_1\sin 60\text{°+}{R}_2\sin 60\text{°=}W}$ より， ${\displaystyle R_2=\frac{W}{\sqrt{3}}}$

よって，

${\displaystyle l=\frac{4}{W}\cdot \frac{W}{\sqrt{3}}r=\frac{4}{\sqrt{3}}r=\frac{4\sqrt{3}}{3}r}$
したがって，棒の長さ ${\displaystyle l}$は半球の半径${\displaystyle r}$の${\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$ 倍 である．

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