中空円柱（厚みのある円筒）の慣性モーメント1

図1


図2

この中空円柱（厚みのある円筒）の体積は ${\displaystyle V=\pi (R_2^2-R_1^2)L}$ なので，その密度を ${\displaystyle \rho }$ とすると

${\displaystyle \rho =\frac{M}{V}}$ ${\displaystyle =\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}}$

である．図1のように回転軸を ${\displaystyle z}$ 軸にとり，この中空円柱を ${\displaystyle z}$ 軸方向に微小幅 ${\displaystyle dz}$ でスライスし，多数の薄い円環に分割する．さらに，円柱座標を考えて，${\displaystyle xy}$ 面上の座標を ${\displaystyle (r,\theta )}$ で表し，図2のように薄い円環の面積を ${\displaystyle r}$ 方向と ${\displaystyle \theta }$ 方向で細分化する．このとき，微小面積 ${\displaystyle dS}$ は

${\displaystyle dS=dr\cdot rd\theta }$

と表せるので，厚さ ${\displaystyle dz}$ の微小部分の体積 ${\displaystyle dV}$ は

${\displaystyle dV=dS\cdot dz}$ ${\displaystyle =rdrd\theta dz}$

である．よって，この微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ が

${\displaystyle dm=\rho \cdot dV}$ ${\displaystyle =\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}\cdot rdrd\theta dz}$

で，回転半径が ${\displaystyle r}$ なので，この微小部分の慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は

${\displaystyle dI=dm\cdot r^2}$ ${\displaystyle =\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}\cdot r^{3}drd\theta dz}$

となる．したがって，求める慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_{D}dI}}$ ${\displaystyle =\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}{\displaystyle {\int }_{R_1}^{R_2}{r}^{3}dr}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }d\theta }{\displaystyle {\int }_0^{L}dz}}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}\cdot {\left[\frac{1}{4}{r}^4\right]}_{R_1}^{R_2}\cdot {\left[\theta \right]}_0^{2\pi }\cdot {\left[z\right]}_0^L}$
${\displaystyle \phantom{I}=\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}\cdot \frac{1}{4}(R_2^4-R_1^4)\cdot 2\pi \cdot L}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}M(R_1^2+R_2^2)}$

となる．

${\displaystyle \rho =\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}}$

である．図のように回転軸を ${\displaystyle z}$ 軸にとり，この中空円柱を ${\displaystyle z}$ 軸方向に微小幅 ${\displaystyle dz}$ でスライスし，多数の薄い円環に分割する．内半径 ${\displaystyle R_1}$ ，外半径 ${\displaystyle R_2}$ の円環の面積は ${\displaystyle \pi (R_2^2-R_1^2)}$ であり，この微小な厚さ ${\displaystyle dz}$ の円環の体積は ${\displaystyle dV=\pi (R_2^2-R_1^2)\cdot dz}$ と表せるので，この円環の微小質量が

${\displaystyle dm=\rho \cdot dV}$ ${\displaystyle =\frac{M}{\pi (R_2^2-R_1^2)L}\cdot \pi (R_2^2-R_1^2)\cdot dz}$ ${\displaystyle =\frac{M}{L}dz}$

となる．この円環の慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は，質量中心を通り面に垂直な回転軸周りの円環の慣性モーメント（ ${\displaystyle I=M(R_2^2+R_1^2)/2}$ ）より

${\displaystyle dI=\frac{(R_2^2+R_1^2)dm}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{M(R_2^2+R_1^2)}{2L}dz}$

となる．したがって，求める慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_{D}dI}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^L\frac{M(R_2^2+R_1^2)}{2L}dz}}$ ${\displaystyle =\frac{M(R_2^2+R_1^2)}{2L}{\left[z\right]}_0^L}$ ${\displaystyle =\frac{M(R_2^2+R_1^2)}{2L}\cdot L}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}M(R_2^2+R_1^2)}$

となる．このことから，結局，この慣性モーメントは中空円柱の回転軸方向の長さ ${\displaystyle L}$ に依らず，円環の慣性モーメントの表記（ ${\displaystyle I=M(R_2^2+R_1^2)/2}$ ）と同じであることが分かる．