一様な薄板の重心

図のように原点と軸を設定し，1辺 ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ ，質量 ${\displaystyle m}$ の正方形の一様な薄板と，縦 ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ ，横 ${\displaystyle L}$ で質量 ${\displaystyle 2m}$ の長方形の一様な薄板を考えると，各薄板の重心の位置は

正方形の重心の位置： ${\displaystyle R_1=\left(0,\frac{L}{4}\right)}$
長方形の重心の位置： ${\displaystyle R_2=\left(0,-\frac{L}{4}\right)}$

である．これらの重心の位置に質量 ${\displaystyle m}$ ， ${\displaystyle 2m}$ の2つの質点があるとみなして，この2質点系の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めると

${\displaystyle R=\frac{m\left(0,\frac{L}{4}\right)+2m\left(0,-\frac{L}{4}\right)}{m+2m}=\frac{\left(0,-\frac{L}{4}\right)}{3}=\left(0,-\frac{L}{12}\right)}$

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図のように原点と軸を設定し，1辺 ${\displaystyle L}$ ，質量 ${\displaystyle 4m}$ の正方形の一様な薄板と，仮想的な負の質量 ${\displaystyle -m}$ をもつ1辺 ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ の正方形の一様な薄板を考えると，各薄板の重心の位置は

1辺 ${\displaystyle L}$ の正方形の重心の位置： ${\displaystyle R_1=\left(0,0\right)}$
1辺 ${\displaystyle \frac{L}{2}}$ の正方形の重心の位置： ${\displaystyle R_2=\left(0,\frac{L}{4}\right)}$

である．これらの重心の位置に質量 ${\displaystyle 4m}$ , ${\displaystyle -m}$ の2つの質点があるとみなして，この2質点系の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めると

${\displaystyle R=\frac{4m\left(0,0\right)+\left(-m\right)\left(0,\frac{L}{4}\right)}{4m+\left(-m\right)}=\frac{\left(0,-\frac{L}{4}\right)}{3}=\left(0,-\frac{L}{12}\right)}$

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図のように原点と軸を設定し，１辺 ${\displaystyle L}$ ，質量 ${\displaystyle 4m}$ の正方形の一様な薄板と，仮想的な負の質量 ${\displaystyle -m}$ をもつ2辺が ${\displaystyle \frac{L}{\sqrt{2}}}$ の直角2等辺三角形の一様な薄板を考える．
正方形の薄板の重心の位置は原点である．
三角形の重心 は3本の中線（各頂点から対辺の中点に引いた線）の交点なので，頂点から対辺の中点までの線分を ${\displaystyle 2:1}$ に分ける点となる．よって，この直角2等辺三角形の重心の位置は ${\displaystyle \left(-\frac{L}{3\sqrt{2}},-\frac{L}{3\sqrt{2}}\right)}$ である．
原点に質量 ${\displaystyle 4m}$ ，点 ${\displaystyle \left(-\frac{L}{3\sqrt{2}},-\frac{L}{3\sqrt{2}}\right)}$ に質量 ${\displaystyle -m}$ の質点がある2質点系の重心${\displaystyle G}$ の位置を求めると

${\displaystyle R=\frac{4m\left(0,0\right)+\left(-m\right)\left(-\frac{L}{3\sqrt{2}},-\frac{L}{3\sqrt{2}}\right)}{4m+\left(-m\right)}=\frac{\left(L,L\right)}{9\sqrt{2}}=\left(\frac{\sqrt{2}L}{18},\frac{\sqrt{2}L}{18}\right)}$

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円の重心は円の中心である．
また，円の半径を ${\displaystyle r}$ とすると面積は ${\displaystyle \pi r^2}$ なので，半径 ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle b}$ の円の質量比は ${\displaystyle a^2:b^2}$ である．
図のように軸と原点を設定し，質量 ${\displaystyle a^{2}m}$ ，中心 ${\displaystyle \left(0,0\right)}$ ，半径 ${\displaystyle a}$ の円形の一様 な薄板と，仮想的に負の質量 ${\displaystyle -b^{2}m}$ をもつ中心 ${\displaystyle \left(c,0\right)}$ ，半径 ${\displaystyle b}$ の円形の一様な薄板を考えると，原点に質量 ${\displaystyle a^{2}m}$ ，点 ${\displaystyle \left(c,0\right)}$ に質量 ${\displaystyle -b^{2}m}$ の質点がある2質点系とみなせるので，その重心の位置を求めると

${\displaystyle R=\frac{a^{2}m\left(0,0\right)+\left(-b^{2}m\right)\left(c,0\right)}{a^{2}m+\left(-b^{2}m\right)}=\frac{-b^2\left(c,0\right)}{a^2-b^2}=\left(-\frac{b^{2}c}{a^2-b^2},0\right)}$

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