重心の位置(2次元における3質点系,${\displaystyle n}$質点系の重心)

＜2次元＞

〇 3質点系

２次元における重心Gの座標を $\overrightarrow{r_G}=\left(x_G,y_G\right)$ とする．質点の質量を${\displaystyle m_1〔\text{k}\text{g}〕}$ ，${\displaystyle m_2〔\text{k}\text{g}〕}$，${\displaystyle m_3〔\text{k}\text{g}〕}$ とし，質点の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)〔\text{m}〕}$ ， ${\displaystyle \left(x_2,y_2\right)〔\text{m}〕}$ ，${\displaystyle \left(x_3,y_3\right)〔\text{m}〕}$ とすると，２質点系において，${\displaystyle x}$ 軸方向の重心Gのまわりの力のモーメントのつり合い条件から，${\displaystyle x_G}$ は，

${\displaystyle m_{1}g\left(x_G-x_1\right)-m_{2}g\left(x_2-x_G\right)-m_{3}g\left(x_3-x_G\right)=0}$

${\displaystyle m_1{x}_G-m_1{x}_1-m_2{x}_2+m_2{x}_G-m_3{x}_3+m_3{x}_G=0}$

${\displaystyle \left(m_1+m_2+m_3\right)x_G=m_1{x}_1+m_2{x}_2+m_3{x}_3}$

${\displaystyle x_G=\frac{m_1{x}_1＋m_2{x}_2＋m_3{x}_3}{m_1+m_2+m_3}〔\text{m}〕}$

${\displaystyle y}$ 軸方向の重心Gのまわりの力のモーメントのつり合い条件から，${\displaystyle y_G}$ は，

${\displaystyle m_{1}g\left(y_G-x_1\right)-m_{2}g\left(y_2-y_G\right)-m_{3}g\left(y_3-y_G\right)=0}$

${\displaystyle m_1{y}_G-m_1{y}_1-m_2{y}_2+m_2{y}_G-m_3{y}_3+m_3{y}_G=0}$

${\displaystyle (m_1+m_2+m_3)y_G=m_1{y}_1+m_2{y}_2+m_3{y}_3}$

${\displaystyle y_G=\frac{m_1{y}_1＋m_2{y}_2＋m_3{y}_3}{m_1+m_2+m_3}〔\text{m}〕}$

2次元における2質点系の重心Gの座標は，

〇 ${\displaystyle n}$ 質点系

質点の質量を${\displaystyle m_1〔\text{k}\text{g}〕}$ ，${\displaystyle m_2〔\text{k}\text{g}〕}$，，，${\displaystyle m_{\mathrm{n}}〔\text{k}\text{g}〕}$ とし，質点の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)〔\text{m}〕}$ ， ${\displaystyle \left(x_2,y_2\right)〔\text{m}〕}$ ，，，${\displaystyle \left(x_{\mathrm{n}},y_{\mathrm{n}}\right)〔\text{m}〕}$ とすると，一般に，${\displaystyle n}$ 質点系の重心Gの座標は，