F - x グラフと仕事 1

物体にはたらく x 軸方向の力 F 〔N〕 が物体の位置 x [ m ] によって変化する場合，初期位置を x i [ m ] ，最終位置を x f [ m ] とすると，仕事は一般に

W= ∫ x i x f F(x)dx

のように積分で表される．これは図2に示すように， F-x グラフが x 軸との間につくる面積に対応する（斜線部分）．

したがって，この問題の場合，小物体が位置 x=0 m から 2.0 m までに移動したときの仕事は，図3の斜線部分の台形の面積で表され，

3.0+5.0 2 ⋅2.0=8.0 J

と求まる．

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(1) の解説で説明したように，小物体がした仕事は斜線部分の面積に対応する． (1) の解答から，位置 x=0 m から 2.0 m までの仕事は

W1=8.0  J

であり，位置 x=2.0 m から 3.0 m までの仕事

W2= 1.0+3.02 ⋅1.0 =2.0 J ，

位置 x=3.0 m から 4.0 m までの仕事

W3= 1.0⋅1.0 =1.0 J ，

位置 x=4.0 m から 6.0 m までの仕事

W4= 1.0+5.02 ⋅2.0 =6.0 J

となる．したがって，すべて足し合わせると

W1+ W2+ W3+ W4= 8.0+2.0+1.0 +6.0=17 J

と求まる．

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(1) の解説より，外力 F(x) が位置 xi から xf までに物体にした仕事は， W= ∫ x i x f F(x)dx で表された． 位置 xi での速さを vi [m /s] ，位置 xf での速さを vf [ m /s ] とすると，この仕事 W と運動エネルギーの関係は

W= 1 2 m v f 2 − 1 2 m v i 2

である．上式右辺の第1項目は位置 xf での物体の運動エネルギー，第2項目は位置 xf での物体の運動エネルギーである．この式より， (2) で求めた仕事 17 J は， x=0 m から， 6.0 m に移動したときの運動エネルギーの増分に対応することが分かる．したがって，位置 x=6.0 m における小物体の運動エネルギーは

17 J+3.0 J=20 J

と求まる．

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