面密度　 ${\displaystyle \rho 〔{\text{kg/m}}^{\text{2}}〕}$ が一定の剛体の重心

剛体の重心を求める際には，多くの質点が集まり剛体が形成されていると考えるとよい．

ここで，有限の質量 ${\displaystyle \Delta m_i=\rho \Delta s_i〔\text{kg}〕}$ ( ${\displaystyle \Delta s_i}$ は面積) ${\displaystyle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)}$ が　 ${\displaystyle n}$ 個集まり，剛体が形成されていると考える．

無限小の質量 ${\displaystyle dm=\rho ds}$ をもつ質点を無限個集めることで ${\displaystyle \left(n\to \infty \right)}$ 、剛体全体を埋め尽くすことができる．

そこで， ${\displaystyle n}$ 質点系の重心(2次元)において， ${\displaystyle n\to \infty }$ の極限をとると，

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{\mathrm{i}}\Delta s_{\mathrm{i}}}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\Delta s_{\mathrm{i}}}}}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{s}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{\mathrm{i}}\Delta s_{\mathrm{i}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{s}\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{\mathrm{i}}\Delta s_{\mathrm{i}}}}$

${\displaystyle \therefore x_G=\frac{1}{s}{\displaystyle \int xds〔\text{m}〕}}$

同様にして，

${\displaystyle \therefore y_G=\frac{1}{s}{\displaystyle \int yds〔\text{m}〕}}$

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学生スタッフ作成

2025年10月30日