2次元における n 質点系の重心の導出(別解)

2次元における3質点系の重心において，重心の座標を重心Gのまわりの3質点系のつり合い条件より導いた．

ここでは，異なる手法として，2質点系の重心の座標を繰り返し導出することで，3質点系の重心の座標を導く．

3質点の質量を m 1  〔kg〕 ， m 2  〔kg〕 ， m 3  〔kg〕 とし，座標をそれぞれ ( x 1 , y 1 ) 〔m〕 ， ( x 2 , y 2 ) 〔m〕 ， ( x 3 , y 3 ) 〔m〕 と置く．質点 m 1  〔kg〕 と質点 m 2  〔kg〕 の重心G'の座標を ( x G' , y G' ) 〔m〕 とすると，2質点系の重心(2次元)より，

( x G' , y G' )=( m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 )  〔m〕

2質点 m 1 + m 2  〔kg〕 の重心 ( x G' , y G' ) と，質点 m ３  〔kg〕 の座標 ( x 3 , y 3 ) 〔m〕 に対する重心Gの座標 ( x G , y G ) 〔m〕 は，2質点系の重心(2次元)より，

x G = ( m 1 + m 2 ) x G' + m 3 x 3 ( m 1 + m 2 )+ m 3 = ( m 1 + m 2 ) m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3 = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3  〔m〕

x G = ( m 1 + m 2 ) y G' + m 3 y 3 ( m 1 + m 2 )+ m 3 = ( m 1 + m 2 ) m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3 = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3  〔m〕

これは3質点系の重心(2次元)に等しい．

一般に， n 質点系の重心の座標も2質点系の重心の座標を n−1 回繰り返し導くことで得られる．