重心の位置(3次元)

3次元における重心Gの座標を $\vec{r_{G}} = (x_{G}, y_{G}, z_{G})$ とする．質点の質量を $m_{1} 〔 k g 〕$ ， $m_{2} 〔 k g 〕$ とし，質点の座標をそれぞれ $(x_{1}, y_{1}) 〔 m 〕$ ， $(x_{2}, y_{2}) 〔 m 〕$ とすると，2次元における２質点系と同様に， $x$ 軸方向の重心Gのまわりの力のモーメントのつり合い条件下から， $x_{G}$ は，

$m_{1} g (x_{G} - x_{1}) - m_{2} g (x_{2} - x_{G}) = 0$

$m_{1} x_{G} - m_{1} x_{1} - m_{2} x_{2} + m_{2} x_{G} = 0$

$(m_{1} + m_{2}) x_{G} = m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}$

$x_{G} = \frac{m_{1} x_{1} ＋ m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} 〔 m 〕$

$y_{G}$ ， $z_{G}$ も同様にして，

$y_{G} = \frac{m_{1} y_{1} ＋ m_{2} y_{2}}{m_{1} + m_{2}} 〔 m 〕$

$z_{G} = \frac{m_{1} z_{1} ＋ m_{2} z_{2}}{m_{1} + m_{2}} 〔 m 〕$

以上より，

$\vec{r_{G}} = (\frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1} z_{1} + m_{2} z_{2}}{m_{1} + m_{2}}) 〔 m 〕$

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$金沢工業大学$

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